תבנית פיסטר

במתמטיקה, תבנית פיסטר (Pfister form) היא תבנית ריבועית הנתונה על ידי מכפלת מספר סופי של תבניות בעלות צורה אלכסונית . כך מתקבלת תבנית מממד חזקת 2, שיש לה תפקיד מרכזי בחקר המרחבים הריבועיים והמבנה שלהם.

תבניות פיסטר יוצרות בחוג ויט את האידיאלים , ולכן יוצרות את המנות , ומתקשרות דרכן ל-תורת K של חוגים.

תבניות פיסטר יוצרות את אידיאל הפיתול בחוג ויט. התבניות מממד נמוך מופיעות גם כנורמות באלגברות הרכבה.

הגדרהעריכה

יהי   שדה ממאפיין שאינו 2.

עבור  , התבנית הריבועית בעלת הצורה האלכסונית   נקראת תבנית פיסטר מסדר ראשון, ומסומנת  . תבנית פיסטר מסדר   היא מכפלה טנזורית של   תבניות מסדר ראשון, כלומר מהצורה  , עבור  .

התבנית מהצורה   היא מרחב היפרבולי.

תכונות ומבנהעריכה

לתבניות פיסטר תכונות שימושיות רבות, המראות עד כמה חשוב המבנה שלהן.

תכונותעריכה

ראשית, מתקיימת "כמעט אדטיביות", כלומר  . תכונה זו מראה כי הדיסקרימיננטה היא הומומורפיזם של חבורות  . בפרט, מתקיים   ו-  לכל  .

באופן כללי, תבניות פיסטר מסדר   יוצרות (כחבורה אדיטיבית) את האידיאלים  , משום שכל תבנית מסדר 2 ניתן לכתוב כתבנית פיסטר  .

התבנית   היא סכום של ריבועים; משפט הורוויץ קובע כי תבנית כאלו הן כפליות אם ורק אם ממדן הוא  . בממד 2, כל התבניות הכפליות הן תבניות פיסטר ורק הן.

מבנהעריכה

נציג מספר משפטי מפתח חשובים על תבניות פיסטר המובילים למסקנות מעניינות.

משפט - תהי   תבנית פיסטר, אז ניתן לכתוב  . אז מתקיים   אם ורק אם   מתקבל כערך של  .

כמסקנה מקבלים:

משפט: אם תבנית פיסטר איזוטרופית, אז היא היפרבולית.

המשפט הבא מראה כי אוסף הערכים שמקבלת תבנית פיסטר סגור למכפלה.

משפט - נסמן ב-  את אוסף הערכים שהתבנית מקבלת, וב-  את החבורה  . אם   תבנית פיסטר מתקיים  .

כמסקנה, נובע כי אם   תבנית פיסטר אז   סגורה לכפל . תכונה זו נקראת תכונת הכפליות של תבניות פיסטר.

משפט: התכונות הבאות שקולות:

  •   היא תבנית פיסטר.
  • לכל הרחבת שדות  , אוסף הערכים של התבנית מעל ההרחבה, המסומן  , הוא חבורה.
  •  .

המשפט הבא נותן מידע על הממד של תבניות.

משפט: הממד של תבנית לא היפרבולית ב-  הוא לפחות  . אם הוא שווה ל- , התבנית היא בהכרח תבנית פיסטר.

מסקנה:  

הקשר לתורת Kעריכה

לתבנית פיסטר קשר הדוק לתורת K.

הן מספקות העתקה  , הנתונה על ידי  .

לפי השערת מילנור, ההעתקה המהווה אפימורפיזם, ובעלת גרעין  , ולכן מתקבל איזומורפיזם  , כאשר  .

ראו גםעריכה

לקריאה נוספתעריכה