חוג האפס

בתורת החוגים, ענף של המתמטיקה, חוג אפס או החוג הטריוויאלי הוא החוג היחיד (עד איזומורפיזם) המורכב מאיבר אחד. (המונח "חוג אפס" מתייחס גם לכל חוג בלי יחידה שריבועו אפס, כלומר, חוג ללא יחידה שבו xy = 0 לכל x ו-y. עמוד זה מתייחס לחוג האיבר היחיד.)

בקטגוריית החוגים בלי יחידה, חוג האפס היא האובייקט הסופי ואילו חוג המספרים השלמים Z היא האובייקט ההתחלתי.

הגדרה

חוג האפס, שמסומן {0} או פשוט 0, מורכב מהיחידון {0} עם הפעולות + ו · המוגדרות כך ש-0 + 0 = 0 ו-0 · 0 = 0.

תכונות

• חוג האפס הוא החוג היחיד בו היחידה החיבורית 0 והיחידה הכפלית 1 שוות. (הוכחה: אם 1 = 0 בחוג R, אז לכל r ב-R, יש לנו $r=r\cdot 1=r\cdot 0=0$.)
• האיבר 0 בחוג האפס הוא הזהות המשמש כמספר הופכי של עצמו.
• קבוצת האיברים ההפיכים של חוג האפס היא הקבוצה הטריוויאלית {0}.
• האיבר 0 בחוג האפס אינו מחלק אפס.
• האידיאל היחיד בחוג האפס הוא אידיאל האפס {0}, שהוא גם האידיאל היחיד, השווה לכל החוג. אידיאל זה אינו מקסימלי ואינו ראשוני.
• חוג האפס אינו שדה ; זה תואם את העובדה שאידיאל האפס שלו אינו מקסימלי. למעשה, אין שדה עם פחות מ-2 איברים.
• חוג האפס אינו תחום שלמות. אם חוג האפס נחשב בכלל לתחום הוא עניין של מוסכמה, אך ישנם שני יתרונות לא לשקול אותו כתחום. ראשית, זה תואם את ההגדרה שתחום הוא חוג שבו 0 הוא מחלק האפס היחיד (בפרט, 0 נדרש להיות מחלק אפס, שנכשל בחוג האפס). שנית, בדרך זו, עבור מספר שלם חיובי n, החוג Z / n Z (או Z _n, שהיא איזומורפית ל-Z / n Z) היא תחום אם ורק אם n הוא ראשוני, אך 1 אינו ראשוני.
• לכל חוג A קיים הומומורפיזם יחיד (של חוגים) מ-A לחוג האפס. לפיכך חוג האפס היא אובייקט סופי בקטגוריית החוגים.
• אם A הוא חוג שאינו אפסי, אז אין הומומורפיזם (של חוגים) מחוג האפס ל-A. בפרט, חוג האפס אינו תת-חוג של אף חוג שאינו אפסי.
• חוג האפס הוא החוג היחיד בעל מאפיין 1.
• המודול היחיד לחוג האפס הוא מודול האפס.
• חוג האפס אינה חוג מקומי. זוהי, עם זאת, חוג מקומי למחצה.
• חוג האפס היא ארטיני (ולכן) נתרי.
• הספקטרום של חוג האפס הוא הסכמה הריקה.
• הממד קרול של חוג האפס הוא – ∞.
• חוג האפס היא פשוטה למחצה אך לא פשוטה.
• חוג האפס אינו אלגברה פשוטה מרכזית מעל שום שדה.

בניות

• עבור כל חוג A ואידיאל I של A, המנה A / I היא חוג אפס אם ורק אם I = A, כלומר אם ורק אם I האידיאל יחידה.
• עבור כל חוג חילופי A וקבוצת כפל S ב-A, הלוקליזציה S ^-1 A היא חוג האפס אם ורק אם S מכיל 0.
• אם A היא חוג כלשהי, הרי החוג $M_{0}(A)$ של 0 × 0 מטריצות מעל A היא חוג האפס.
• המכפלה הישירה של אוסף חוגים ריק היא חוג האפס.
• חוג האנדומורפיזמים של הקבוצה הטריוויאלית היא חוג האפס.
• חוג הפונקציות האמיתיות הרציפות על מרחב טופולוגי ריק היא חוג האפס.

לקריאה נוספת

• מייקל ארטין, אלגברה, פרנטיס-הול, 1991.
• זיגפריד בוש, גאומטריה אלגברית ואלגברה קומוטטיבית, ספרינגר, 2012.
• מייקל עטיה ו-IG Macdonald, מבוא לאלגברה קומוטטיבית, אדיסון-ווסלי, 1969.
• ניקולא בורבאקי, אלגברה I, פרקים 1–3.
• רובין הרטשורן, גאומטריה אלגברית, ספרינגר, 1977.
• TY Lam, תרגילים בתורת הטבעות הקלאסית, ספרינגר, 2003.
• סרג' לאנג, אלגברה מהדורה שלישית, ספרינגר, 2002.

קישורים חיצוניים

• חוג האפס, באתר MathWorld (באנגלית)