סכמה (מתמטיקה)

במתמטיקה, סְכֶמָה היא מבנה מתמטי שמכלילה בכמה דרכים את הרעיון של יריעה אלגברית מהגאומטריה האלגברית הקלאסית. לדוגמה, המשוואות $x=0$ ו-$x^{2}=0$ מגדירות את אותן היריעות אך סכמות שונות. הסכמה מאפשרת להגדיר את הרעיון של יריעה מעל כל חוג קומוטטיבי (לדוגמה, עקום פרמה מוגדר מעל חוג השלמים $\mathbb {Z}$).

סכמות הוצגו לראשונה על ידי אלכסנדר גרותנדיק, בשנת 1960, בספרו "יסודות הגאומטריה האלגברית"; מטרתו של גרותנדיק הייתה לבנות ניסוח מחדש של התחום כדי לפתור שאלות עמוקות וחשובות בתחום ובתחומים הקשורים, כגון השערות וויל (שהאחרונה מבינהן נפתרה על ידי פייר דליין ). הגישה מתבססת רבות על אלגברה קומוטטיבית, ותורת הסכמות מביאה את האפשרות להשתמש בכלים של טופולוגיה ואלגברה הומולוגית. בנוסף, סכמות מקשרות קשר הדוק בין גאומטריה אלגברית לבין תורת המספרים (מה ששימש רבות את ווילס בהוכחת "המשפט האחרון של פרמה").

הגדרה

סכמה אפינית היא מרחב מחויג מקומית $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ שאיזומורפי (כמרחב מחויג מקומית) לספקטרום של חוג קומוטטיבי. סכמה היא מרחב מחויג מקומית $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ כך שלכל נקודה $x\in X$ יש סביבה פתוחה $U\subseteq X$, כך שהמרחב המחויג $(U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})$ הוא סכמה אפינית.

מטעמי נוחות, הסכמה $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ נקראת לעיתים $X$, ואת המרחב הטופולוגי של $X$ נסמן ${\text{sp}}(X)$. ${\mathcal {O}}_{X}$ נקראת אלומת המבנה של $X$.

בעבר, סכמה נקראה "קדם-סכמה" והמונח סכמה התייחס לקדם-סכמה מופרדת. הטרמינולוגיה הזו כבר אינה בשימוש אך עדיין קיימת בספרים, כמו "יסודות הגאומטריה האלגברית" של גרותנדיק ו-"הספר האדום" של מאמפורד.

מורפיזמים של סכמות

מורפיזם של סכמות הוא מורפיזם של מרחבים מחויגים מקומית. כלומר, אם $X,Y$ סכמות, מורפיזם $f:X\to Y$ הוא הזוג $(f,f^{\sharp })$, כאשר:

1. $f:X\to Y$ העתקה רציפה בין שני מרחבים טופולוגיים.
2. $f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ מורפיזם של אלומות כך שההומומורפיזם המושרה מ-$f^{\sharp }$ על הנבטים הוא הומומורפיזם מקומי של חוגים מקומיים, כלומר לכל $p\in X$, ההומומורפיזם המושרה $f_{p}^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{Y,f(p)}\to {\mathcal {O}}_{X,p}$ מקיים $f_{p}^{\sharp }({\mathfrak {m}}_{f(p)})\subseteq {\mathfrak {m}}_{p}$.

$f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ היא הדחיפה של האלומה ${\mathcal {O}}_{X}$ על $Y$, כלומר האלומה שמתאימה לכל קבוצה פתוחה $V\subseteq Y$ את החוג $\Gamma (f^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})$ .

${\mathcal {O}}_{X,p}$ הוא הנבט של האלומה ${\mathcal {O}}_{X}$ בנקודה $p$.

${\mathfrak {m}}_{p}$ הוא האידיאל המקסימלי היחיד בחוג המקומי ${\mathcal {O}}_{X,p}$.

תכונות של סכמות

• סכמה נקראת קשירה אם המרחב הטופולוגי שלה קשיר.
• סכמה נקראת אי-פריקה אם המרחב הטופולוגי שלה אי-פריק.
• סכמה $X$ נקראת מצומצמת אם לכל קבוצה פתוחה $U$, החוג ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ חסר נילפוטנטים. באופן שקול, $X$ מצומצמת אם לכל נקודה $P\in X$ החוג המקומי ${\mathcal {O}}_{X,P}$ חסר נילפוטנטים.
• סכמה $X$ נקראת אינטגרלית (integral) אם לכל קבוצה פתוחה $U$, החוג ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ הוא תחום שלמות. סכמה היא אינטגרלית אם"ם היא גם אי פריקה וגם מצומצמת.
• סכמה $X$ היא נתרית מקומית אם היא ניתנת לכיסוי על ידי קבוצות פתוחות אפיניות ${\text{Spec}}A_{i}$, כשכל $A_{i}$ הוא חוג נתרי. $X$ היא נתרית אם היא נתרית מקומית וקוואזי-קומפקטית. באופן שקול, $X$ היא נתרית אם היא ניתנת לכיסוי על ידי מספר סופי של קבוצות פתוחות אפיניות ${\text{Spec}}A_{i}$ כשכל $A_{i}$ הוא חוג נתרי. הערה: המרחב הטופולוגי של סכמה נתרית הוא נתרי, אבל לא בהכרח להפך.
• המימד של סכמה $X$, מסומן ${\text{dim}}X$, הוא מימד קרול שלה כמרחב טופולוגי (סופרימום אורך שרשאות ההכלה של תת-קבוצות סגורות אי פריקות שונות). אם $Z$ תת-קבוצה אי-פריקה סגורה של $X$, אז הקו-מימד של $Z$ ב-$X$, המסומן ${\text{codim}}(Z,X)$ הוא סופרימום אורכי השרשראות $Z=Z_{0}<Z_{1}<...<Z_{n}$ של תת-קבוצות שונות סגורות אי-פריקות של $X$, שמתחילות ב-$Z$. אם $Y$ תת-קבוצה סגורה כלשהי של $X$, מגדירים ${\text{codim}}(Y,X)={\text{inf}}_{Z\subseteq Y}{\text{codim}}(Z,X)$.
• המימד של סכמה נתרית תמיד סופי.

בניות קטגוריות

הקטגוריה של סכמות אפיניות

לכל סכמה $X$ יש מורפיזם טבעי $\theta :X\to {\text{Spec}}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ שהוא איזומורפיזם אם ורק אם $X$ סכמה אפינית. באופן שקול, אם $R$ חוג קומוטטיבי ו-$X$ סכמה, אז יש התאמה חח"ע ועל:

${\text{Mor}}(X,{\text{Spec}}R)\cong {\text{Hom}}(R,\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}))$

(הוכחה: ההעתקה $\phi \mapsto \operatorname {Spec} (\phi )\circ \theta$ מצד ימין לצד שמאל היא האיזומורפיזם הדרוש.)

יתרה מזאת, הטענה דלעיל יכולה לתת אפיון של סכמות אפיניות כך: סכמה $X$ היא אפינית אם ורק אם לכל סכמה $S$ ההעתקה ${\text{Mor}}(S,X)\to {\text{Hom}}(\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),\Gamma (S,{\mathcal {O}}_{S}))$ היא חח"ע ועל.

(הוכחה: אם ההעתקה חח"ע ועל אז ${\text{Mor}}(-,X)\simeq {\text{Mor}}(-,{\text{Spec}}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}))$ ולכן $X$ איזומורפי ל-${\text{Spec}}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ מהלמה של יונדה. הכיוון השני ברור.)

אם נסמן את קטגוריית הסכמות האפיניות ב-${\text{ASch}}$ נקבל תוצאה חשובה: ${\text{Ring}}^{\text{op}}={\text{ASch}}$, כלומר קטגוריית הסכמות האפיניות שקולה לקטגוריה ההפוכה לקטגוריית החוגים.

אובייקט סופי ואובייקט תחילי

$\mathbb {Z}$ הוא האובייקט ההתחלתי בקטגוריה של החוגים (הקומוטטיביים עם יחידה, ${\text{Ring}}$) ולכן מכך ש-${\text{Mor}}(X,{\text{Spec}}R)\cong {\text{Hom}}(R,\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}))$ נקבל כי ${\text{Spec}}\mathbb {Z}$ הוא האובייקט הסופי בקטגוריית הסכמות (${\text{Sch}}$).

כלומר, מכל סכמה $X$ יש מורפיזם יחיד $X\to {\text{Spec}}\mathbb {Z}$.

האובייקט התחילי בקטגוריית הסכמות הוא הסכמה הריקה (השווה ל-${\text{Spec}}0$)

מכפלה מסוייבת של סכמות

תהי $S$ סכמה, ויהיו $X,Y$ סכמות מעל $S$, כלומר סכמות עם מורפיזם ל-$S$.

נגדיר את המכפלה המסוייבת של $X$ ו-$Y$ מעל $S$, מסומנת $X\times _{S}Y$, להיות סכמה, יחד עם מורפיזמים $p_{1}:X\times _{S}Y\to X$, $p_{2}:X\times _{S}Y\to Y$, שיוצרים דיאגרמה קומוטטיבית יחד עם המורפיזמים הנתונים $X\to S$, $Y\to S$, כך שלכל סכמה $Z$ מעל $S$ ומורפיזמים $f:Z\to X$, $g:Z\to Y$ שיוצרים דיאגרמה קומוטטיבית עם המורפיזמים $X\to S$, $Y\to S$, קיים מורפיזם יחיד $\theta :Z\to X\times _{S}Y$ עבורו $f=p_{1}\circ \theta$ ו-$g=p_{2}\circ \theta$.

המורפיזמים $p_{1}$ ו-$p_{2}$ נקראים הטלות (projection morphisms) של המכפלה המסוייבת על גורמי המכפלה.

אם $X,Y$ נתונות ללא סכמת בסיס $S$, לוקחים $S={\text{Spec}}\mathbb {Z}$.

משפט: לכל זוג סכמות $X,Y$ מעל סכמה $S$, המכפלה המסוייבת $X\times _{S}Y$ קיימת.

בקטגוריית הסכמות האפיניות ${\text{ASch}}$ שאיזומורפית לקטגוריה ההפוכה לקטגוריית החוגים${\text{Ring}}^{\text{op}}$, המכפלה המסוייבת מקבילה למכפלה הטנזורית בקטגוריית החוגים. כלומר, אם $X={\text{Spec}}(A),Y={\text{Spec}}(B),Z={\text{Spec}}(C)$ סכמות אפיניות, $A,B,C$ חוגים, ויש מורפיזמים $X\to Z,Y\to Z$, אזי $X\times _{Z}Y\cong {\text{Spec}}(A\otimes _{C}B)$.

דחיפה (pushout)

דחיפה היא מושג דואלי למכפלה מסוייבת. כלומר דחיפה בקטגוריה ${\mathcal {C}}$ היא מכפלה מסוייבת בקטגוריה ההפוכה ${\mathcal {C}}^{\text{op}}$.

יהיו $X,Y,Z$ סכמות עם מורפיזמים $f:Z\to X$ ו $g:Z\to Y$.

נגדיר את הדחיפה $P:=X\sqcup _{Z}Y$ להיות סכמה, יחד עם מורפיזמים $i_{1}:X\to P$, $i_{2}:Y\to P$, שיוצרים דיאגרמה קומוטטיבית יחד עם המורפיזמים הנתונים $f$ ו-$g$, כך שלכל סכמה $Q$ ומורפיזמים $j_{1}:X\to Q$, $j_{2}:Y\to Q$ שיוצרים דיאגרמה קומוטטיבית עם המורפיזמים $f$ ו-$g$ קיים מורפיזם יחיד $u:P\to Q$ עבורו $j_{1}=u\circ i_{1}$ ו-$j_{2}=u\circ i_{2}$.

אם $f$ ו-$g$ הם שיכונים סגורים הדחיפה קיימת, והיא שווה להדבקה של $X$ ו-$Y$ לאורך$Z$.

בקטגוריית הסכמות הדחיפה לא תמיד קיימת. לעומת זאת, בקטגוריית הסכמות האפיניות הדחיפה קיימת תמיד: אם $X={\text{Spec}}A,Y={\text{Spec}}B,Z={\text{Spec}}R$ סכמות אפיניות עם מורפיזמים שנובעים מההומומורפיזמים $\psi :B\to R$ ו- $\phi :A\to R$, אז הדחיפה $X\sqcup _{Z}Y$ קיימת, והיא תהיה ${\text{Spec}}D$ כאשר $D=A\times _{R}B:=\{(a,b)\in A\times B|\phi (a)=\psi (b)\}$.

הדחיפה בסכמות אפיניות לא בהכרח שווה לדחיפה בסכמות. דוגמה לכך היא דחיפה של שני ישרים לאורך ישר בלי הראשית, כאשר הוא משוכן בראשון על ידי הזהות, ובשני על ידי $t\mapsto {1 \over t}$. אז הדחיפה בקטגוריית הסכמות תהיה הישר הפרויקטיבי (מעגל), ובקטגוריית הסכמות האפיניות הדחיפה קורסת לסכמה אפינית - נקודה אחת.

סיב של מורפיזם

יהי $f:X\to Y$ מורפיזם של סכמות (אומרים ש-$X$ היא סכמה מעל $Y$), ותהי $y\in Y$ נקודה. יהי $k(y)$ שדה השאריות של $y$, ויהי ${\text{Spec}}k(y)\to Y$ המורפיזם הטבעי. אז נגדיר את הסיב של המורפיזם $f$ מעל הנקודה $y$ להיות הסכמה $X_{y}=X\times _{Y}{\text{Spec}}k(y)$.

הרעיון של סיב של מורפיזם מאפשר לנו להתייחס למורפיזם כמשפחה של סכמות (שנקראות הסיבים שלו), שמתוארות לפי פרמטרים של נקודות בסכמת התמונה. מהצד השני, המובן הזה של משפחה של סכמות הוא דרך טובה להבין משפחות של סכמות שמשתנות אלגברית. למשל, לכל סכמה $X$ יש העתקה ל-${\text{Spec}}\mathbb {Z}$, כלומר כל סכמה היא סכמה מעל ${\text{Spec}}\mathbb {Z}$. במקרה הזה, הסיב מעל הנקודה הגנרית נותן סכמה $X_{\mathbb {Q} }$ מעל $\mathbb {Q}$, והסיב מעל נקודה סגורה, שמתאימה למספר ראשוני $p$, יהיה סכמה $X_{p}$ מעל השדה הסופי $\mathbb {F} _{p}$. נאמר כי $X_{p}$ נוצרת על ידי צמצום מודולו $p$ של הסכמה $X$.

הרחבת בסיס

תוצאה חשובה של הגדרת המכפלה המסוייבת היא הרעיון של הרחבת בסיס.

תהי $S$ סכמת בסיס. אם $S'$ סכמת בסיס נוספת, ו-$S'\to S$ מורפיזם, אז לכל סכמה $X$ מעל $S$ נגדיר $X'=X\times _{S}S'$, שהיא סכמה מעל $S'$. נאמר כי $X'$ מתקבלת מ-$X$ על ידי הרחבת בסיס $S'\to S$.

תכונות של מורפיזמים של סכמות

• מורפיזם $f:X\to Y$ נקרא קוואזי-קומפקטי אם קיים כיסוי של $Y$ על ידי קבוצות פתוחות אפיניות $V_{i}$ כך ש-$f^{-1}(V_{i})$ קוואזי-קומפקטי לכל $i$.
• מורפיזם $f:X\to Y$ נקרא מקומית מטיפוס סופי אם קיים כיסוי של $Y$ על ידי קבוצות פתוחות אפיניות $V_{i}={\text{Spec}}B_{i}$ כך שלכל $i$, $f^{-1}(V_{i})$ ניתן לכיסוי על ידי קבוצות פתוחות אפיניות $U_{i,j}={\text{Spec}}A_{i,j}$ כשכל $A_{i,j}$ הוא $B_{i}$-אלגברה נוצרת סופית. $f$ נקרא מטיפוס סופי אם בנוסף כל $f^{-1}(V_{i})$ ניתן לכיסוי כנ"ל עם מספר סופי של $U_{i,j}$.
• מורפיזם ם $f:X\to Y$ נקרא סופי אם קיים כיסוי של $Y$ על ידי קבוצות פתוחות אפיניות $V_{i}={\text{Spec}}B_{i}$ כך שלכל $i$, $f^{-1}(V_{i})$ אפינית, שווה ל-${\text{Spec}}A_{i}$, כאשר כל $A_{i}$ הוא $B_{i}$-אלגברה שהיא $B_{i}$-מודול נוצר סופית.
• תת סכמה פתוחה של סכמה $X$ היא סכמה $U$ שהמרחב הטופולוגי שלה הוא תת-קבוצה פתוחה של $X$ ושאלומת המבנה שלה ${\mathcal {O}}_{U}$ איזומורפית לאלומה המצומצמת ${\mathcal {O}}_{X}|_{U}$. שיכון פתוח הוא מורפיזם $f:X\to Y$ שמשרה איזומורפיזם מ-$X$ לתת סכמה פתוחה של $Y$.
• שיכון סגור הוא מורפיזם של סכמות $f:Y\to X$ כך ש-$f$ משרה הומאמורפיזם מ-${\text{sp}}(Y)$ לתת מרחב סגור של ${\text{sp}}(X)$ וההעתקה ${\displaystyle f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}}$ היא על. תת סכמה סגורה של סכמה $X$ היא מחלקת שקילות של שיכונים סגורים, כאשר אנו אומרים שהשיכונים $f:Y\to X$ ו $f':Y'\to X$ שקולים אם קיים איזומורפיזם $i:Y'\to Y$ כך ש-$f'=f\circ i$
• יהי $f:X\to Y$ מורפיזם של סכמות. מורפיזם האלכסון הוא המורפיזם היחיד $\Delta :X\to X\times _{Y}X$ שהרכבתו עם כל אחת מההטלות $p_{1},p_{2}:X\times _{Y}X\to X$ היא העתקת הזהות $X\to X$.
• מורפיזם $f:X\to Y$ נקרא מופרד אם מורפיזם האלכסון $\Delta$ הוא שיכון סגור. במקרה זה אנו אומרים שהסכמה $X$ מופרדת מעל $Y$. סכמה $X$ היא מופרדת אם היא מופרדת מעל ${\text{Spec}}\mathbb {Z}$.
• מורפיזם של סכמות נקרא סגור אם ההעתקה של המרחבים הטופולוגיים היא העתקה סגורה (שולחת תת-קבוצה סגורה לתת קבוצה סגורה).
• מורפיזם $f:X\to Y$ נקרא סגור אוניברסלית אם הוא מורפיזם סגור ועבור כל מורפיזם אחר $Y'\to Y$ המורפיזם $f':X'\to Y'$ המתקבל מהרחבת בסיס של $f$ גם הוא מורפיזם סגור.
• מורפיזם $f:X\to Y$ נקרא נאות אם הוא מופרד, מטיפוס סופי וסגור אוניברסלית. במצב הזה אומרים ש-$X$ נאותה מעל $Y$. סכמה נקראת נאותה אם היא נאותה מעל ${\text{Spec}}\mathbb {Z}$.

למורפיזמים יש חשיבות רבה בתאוריה הזאת וגרות'נדיק אף אמר כי "לא צריך ללמוד סכמות, צריך ללמוד מורפיזמים".

דוגמאות

• ${\text{Spec}}\mathbb {Z}$ היא דוגמה חשובה שהרבה מתורת המספרים הוא מחקר שלה.
• יהי $k$ שדה. פולינום $f\in k[x_{1},..,x_{n}]$ מגדיר תת-סכמה סגורה במרחב האפיני $\mathbb {A} _{k}^{n}$: ${\text{Spec}}(k[x_{1},...,x_{n}]/(f))$. סכמה כזאת נקראת גם היפר משטח. לדוגמה, הפולינום $f=x^{2}-y^{2}(y+1)$ מגדיר עקומה סינגולרית ב-$\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{2}$.
• לכל חוג $R$ אפשר לבנות את המרחב הפרויקטיבי ה-n ממדי מעל $R$ על ידי "הדבקת" n+1 עותקים של המרחב ${\text{Spec}}(R[x_{1},...,x_{n}])$ לאורך הקבוצות הפתוחות.

• 

  יריעה לא פרידה המתקבלת מהדבקה של שני ישרים לאורך המשלים לראשית. יש להדביק לפי החצים הכחולים אך לא להדביק את הראשית (המסומנת בצלב אדום)

  הישר עם "שני" אפסים, ניקח שני עותקים של הישר האפיני (מעל שדה $k$ כלשהו) ונזהה את הנקודות בקבוצה הפתוחה $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}-\{{\bar {0}}\}$ עם עצמן על ידי הזהות, פורמלית: $\left(\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}\coprod \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}\right)/\sim$ כאשר היחס שקילות הוא זה שתיארנו. זוהי דוגמה לסכמה לא פרידה, ובפרט לא אפינית.
• פולינום הומוגני $f\in R[x_{1},...,x_{n}]$ ממעלה חיובית מגדיר תת-סכמה סגורה במרחב הפרויקטיבי $\mathbb {P} _{R}^{n}$ על ידי $f=0$, שנקראת היפר-משטח פרויקטיבי. פורמלית, תת-הסכמה היא ${\text{Proj}}(R[x_{1},...x_{n}]/f(x))$. לדוגמה, תת-הסכמה המוגדרת על ידי $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ ב-$\mathbb {P} _{\mathbb {Q} }^{2}$ זו עקומה אליפטית מעל הרציונלים.
• תת-קבוצה פתוחה של סכמה אפינית נקראת קוואזי-אפינית, והיא אינה בהכרח אפינית. לדוגמה, $X=\mathbb {A} ^{n}-0$ למשל מעל המרוכבים; אז המרחב $X$ לא אפיני עבור $n\geq 2$ (עבור $n=1$ נקבל את הציר בלי הראשית וזה איזומורפי ל-${\text{Spec}}\mathbb {C} [x,x^{-1}]$ ובפרט אפיני). כדי להראות שהמרחב שלנו לא אפיני עבור $n\geq 2$, צריך להראות שכל פונקציה רגולרית על המרחב שלנו ניתנת להרחבה באופן יחיד לכל המרחב האפיני (הטענה דומה ללמה של הארטוגס מאנליזה מרוכבת אך קלה יותר להוכחה). ההכלה $i:X\to \mathbb {A} ^{n}$ משרה הומומורפיזם של חוגים $i^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{\mathbb {A} ^{n}}(\mathbb {A} ^{n})\to {\mathcal {O}}_{X}(X)$. מכיוון שכל פונקציה רגולרית על $X$ ניתנת להרחבה על כל המרחב האפיני אז $i^{\sharp }$ הוא איזומורפיזם. אם $X$ הייתה סכמה אפינית אז $i$ היה איזומורפיזם של סכמות אך הוא לא על ולכן לא איזומורפיזם.
• סכמה פרויקטיבית אינה אפינית (מלבד במקרה הסופי).

ראו גם

• גאומטריה אלגברית
• יריעה אלגברית
• מורפיזמים מופרדים ונאותים

לקריאה נוספת

• Hartshorne, Robin (1997) [1977], Algebraic Geometry, Springer-Verlag, pp. 69–108, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• ורשבסקי, יעקב (2016), עומר שכטר (ed.), "מושגי יסוד בגיאומטריה אלגברית 1" (PDF), האוניברסיטה העברית
• Vakil, Ravi (2017), Foundations of Algebraic Geometry, ISBN 978-0821810293

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא סכמה בוויקישיתוף

• סכמה, באתר MathWorld (באנגלית)