המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי

המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי או המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי הוא משפט מתמטי הקושר בין שני מושגי היסוד של החשבון האינפיניטסימלי: הנגזרת והאינטגרל. המשפט מראה שגזירה ואינטגרציה הן פעולות הופכיות זו לזו: אם פונקציה רציפה עוברת אינטגרציה ואחר כך גוזרים את התוצאה, חוזרים לפונקציה המקורית. פרט לקשר זה, המשפט גם מספק שיטה מעשית לחישוב האינטגרל המסוים (שהוא מושג המוגדר בצורה שאינה מאפשרת חישוב פשוט) באמצעות האינטגרל הלא מסוים, שלחישובו יש דרכים רבות יותר.

המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי קובע, שעבור פונקציות אינטגרביליות שיש להן פונקציה קדומה, האינטגרל המסוים בקטע כלשהו, שווה להפרש הערכים של האינטגרל הלא המסוים שלה בנקודות שבקצוות הקטע.

לכאורה שני מושגים אלה שונים ובאים מעולמות שונים, אבל המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי קובע את הקשר העמוק בין שני התחומים.

ניסוח פורמלי

כאשר (A(x הוא האינטגרל המסוים של (f(x, המגדיר את השטח מתחת ל-f בין נקודה קבועה a (במקרה הזה, a=0) לבין x כלשהו, המשפט היסודי קובע כי הנגזרת של A שווה ל-f. בציור קל לראות ששטח המלבן האדום שווה מצד אחד לשינוי בשטח מתחת לפונקציה (השינוי ב-A) ומצד שני שווה בקירוב (הולך ומשתפר עבור ערכי h קטנים) ל-f(x)*h. כאשר מחלקים ב-h ומשאיפים אותו לאפס, מקבלים את הגדרת הנגזרת.

המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי מורכב בעצם משני משפטים:

משפט

תהי $f$ פונקציה אינטגרבילית בקטע $[a,b]$ ויהי $\ F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ אינטגרל מסוים שלה, כך ש-$x\in [a,b]$. אזי:

1. הפונקציה $F$ רציפה.
2. בכל נקודה $x_{0}$ בה $f$ רציפה, $\ F$ גזירה ומתקיים: $F'(x_{0})=f(x_{0})$ .
3. אם $f$ רציפה בכל הקטע, אזי קיימת לה פונקציה קדומה בקטע, והפונקציה $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ היא פונקציה קדומה שמקיימת $F'=f$ בכל הקטע.

יתרה מזאת, לכל קבוע $C$ מתקיים $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t+C$ פונקציה קדומה של $f$.

נוסחת ניוטון-לייבניץ

תהי $\ f$ פונקציה אינטגרבילית שיש לה פונקציה קדומה $\ F$ בקטע $\ [a,b]$. אם נסמן ${\frac {d}{\mathrm {d} x}}F(x)=f(x)$ אזי

$\ \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(x)\mid _{a}^{b}=F(b)-F(a)$

נשים לב שאין חשיבות לשאלה איזו פונקציה קדומה של $\ f$ לוקחים, מכיוון שכל הפונקציות הקדומות של $\ f$ נבדלות זו מזו בקבוע, והוא מתבטל כאשר מחשבים את ההפרש בין ערכי הפונקציה הקדומה בשתי נקודות שונות.

הנוסחה היסודית של החשבון האינפיניטסימלי מאפשרת לחשב אינטגרלים מסוימים של פונקציות מסוג מסוים.

בתורת המידה מוכללת נוסחה זו למשפחה רחבה יותר של פונקציות, הפונקציות הרציפות בהחלט. ניתן להראות גם שזו משפחת הפונקציות הרחבה ביותר עבורה מתקיימת נוסחה זו. ישנן פונקציות רציפות וגזירות כמעט בכל מקום (אבל לא בכל מקום) שאינן האינטגרל של נגזרתן (ראו פונקציה סינגולרית).

הוכחה

הפונקציה F רציפה

נתון ש־${\textstyle f}$ אינטגרבילית לפי רימן ולכן היא חסומה, כלומר קיים ${\textstyle M\in \mathbb {R} }$ כך ש־${\textstyle \left|f(x)\right|\leq M}$ לכל ${\textstyle x\in \left[a,b\right]}$. יהיו ${\textstyle x,y\in \left[a,b\right]}$, אזי מתקיים:

$$\ \left|F(x)-F(y)\right|=\left|\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t-\int _{a}^{y}f(t)\,\mathrm {d} t\right|=\left|\int _{y}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\right|\leq \int _{y}^{x}\left|f(t)\right|\,\mathrm {d} t\leq M\left|x-y\right|$$

כלומר ${\textstyle F}$ מקיימת את תנאי ליפשיץ ב־${\textstyle \left[a,b\right]}$, ולכן היא רציפה במידה שווה (וּבִפרט רציפה).

הפונקציה f היא נגזרת של F בנקודות הרציפות שלה

תהא $\ x_{0}$ נקודת רציפות של $\ f$. אנו רוצים להראות כי $\ F'(x_{0})=f(x_{0})$ כאשר $\ F=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$.

בסימון פורמלי יותר: אנו רוצים להראות כי $\ \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h}}=f(x_{0})$.

על פי ההגדרה ואדיטיביות האינטגרל המסוים, אנו יודעים שמתקיים: $\ {\frac {F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h}}={\frac {1}{h}}\left(\int _{a}^{x_{0}+h}f(t)\,\mathrm {d} t-\int _{a}^{x_{0}}f(t)\,\mathrm {d} t\right)={\frac {1}{h}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+h}f(t)\,\mathrm {d} t$.

כמו כן מתקיים $\ f(x_{0})={\frac {1}{h}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+h}f(x_{0})\,\mathrm {d} t$, שכן $\ f(x_{0})$ היא קבוע, ולכן האינטגרל שלה על הקטע $\ [x_{0},x_{0}+h]$ הוא פשוט אורך הקטע כפול $\ f(x_{0})$.

לכן מתקיים, על פי אי שוויון המשולש האינטגרלי: $\ \left|{\frac {F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h}}-f(x_{0})\right|=\left|{\frac {1}{h}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+h}\left(f(t)-f(x_{0})\right)\,\mathrm {d} t\right|\leq {\frac {1}{|h|}}\left|\int _{x_{0}}^{x_{0}+h}\left|f(t)-f(x_{0})\right|\,\mathrm {d} t\right|$.

נזכור כי $\ f(x)$ רציפה בנקודה $\ x_{0}$, ולכן עבור $\ \varepsilon >0$ כלשהו קיים $\ \delta >0$ כך ש-$\ |t-x_{0}|<\delta$ גורר $\ |f(t)-f(x_{0})|<\varepsilon$.

אם $\ 0<|h|<\delta$ אז לכל $\ t\in [x_{0},x_{0}+h]$ מתקיים $\ |t-x_{0}|<\delta$. לכן:

$\ {\frac {1}{|h|}}\left|\int _{x_{0}}^{x_{0}+h}\left|f(t)-f(x_{0})\right|\,\mathrm {d} t\right|\leq {\frac {1}{|h|}}\left|\int _{x_{0}}^{x_{0}+h}\varepsilon \,\mathrm {d} t\right|={\frac {1}{|h|}}\varepsilon \cdot |h|=\varepsilon$.

כלומר, הראינו כי לכל $\ \varepsilon >0$ ניתן למצוא $\ \delta >0$ כך שלכל $\ |h|<\delta$ יתקיים $\ \left|{\frac {F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h}}-f(x_{0})\right|<\varepsilon$, כלומר $\ \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h}}=f(x_{0})$, כמבוקש.

מש"ל

קיום פונקציה קדומה בקטע ונוסחת ניוטון-לייבניץ

הוכחת המשפט במקרה פרטי של פונקציה רציפה.

אם $\ f$ רציפה בכל הקטע $\ [a,b]$ אז היא בפרט אינטגרבילית בו (רציפות גוררת אינטגרביליות) ואז כפי שראינו קודם, הפונקציה $\ F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ מקיימת לכל נקודה שבה $\ f$ רציפה (במקרה זה, כל הקטע) $\ F'(x)=f(x)$. לכן $\ F(x)$ היא פונקציה קדומה של $\ f(x)$ בקטע.

על פי הגדרה: $\ F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t-\int _{a}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$.

כעת, כל שתי פונקציות קדומות של $\ f(x)$ נבדלות ביניהן בקבוע. כי נניח ש-$\ F(x),G(x)$ שתיהן פונקציות קדומות של $\ f(x)$, אז $\ \left(F(x)-G(x)\right)'=f(x)-f(x)=0$, כלומר הפונקציה $\ F(x)-G(x)$ היא קבוע, כלומר $\ F(x)=G(x)+c$.

על כן: $\ G(b)-G(a)=F(b)-c-\left(F(a)-c\right)=F(b)-F(a)$, וזאת לכל פונקציה קדומה $\ G(x)$ של $\ f(x)$.

בזאת הושלמה הוכחת הנוסחה היסודית עבור פונקציה רציפה.

מש"ל

הערות:

1. כדי להוכיח את המשפט עבור המקרה הכללי שf אינטגרבילית וF היא פונקציה קדומה של f בכל הקטע $\ [a,b]$יש להשתמש בסכומי רימן ומשפט הערך הממוצע של לגראנז'.
2. המשפט אף נכון למקרה מוכלל בו f אינטגרבילית ופרט למספר סופי של נקודות F היא פונקציה קדומה של f ורציפה. ההוכחה דומה להערה 1.

הוכחה לנוסחת ניוטון-לייבניץ שאינה מתבססת על המשפט היסודי

תהי $P=(a=t_{0}<\cdots <t_{n}=b)$ חלוקה כלשהי של $\ [a,b]$. אז לפי משפט הערך הממוצע של לגראנז' מתקיים: $$\exists x_{i}\in (t_{i-1},t_{i}):F(t_{i})-F(t_{i-1})=F'(x_{i})(t_{i}-t_{i-1})=f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1})$$ עבור $\ i=1,...,n$; כעת נגדיר $$M_{i}={\underset {x\in [t_{i-1},t_{i}]}{\sup }}f(x);\quad m_{i}={\underset {x\in [t_{i-1},t_{i}]}{\inf }}f(x)$$ ונקבל $$m_{i}(t_{i}-t_{i-1})\leq f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1})\leq M_{i}(t_{i}-t_{i-1})$$ כלומר $$m_{i}(t_{i}-t_{i-1})\leq F(t_{i})-F(t_{i-1})\leq M_{i}(t_{i}-t_{i-1})$$ נסכום את המשוואה האחרונה עבור $\ i=1,...,n$ ונקבל: $$s(P)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})\leq \sum _{i=1}^{n}F(t_{i})-F(t_{i-1})\leq \sum _{i=1}^{n}M_{i}(t_{i}-t_{i-1})=S(P)$$ נשים לב ש- $${\sum _{i=1}^{n}}F(t_{i})-F(t_{i-1})=F(b)-F(a)$$(שהרי זהו סכום טלסקופי) ונקבל: $$s(P)\leq F(b)-F(a)\leq S(P)$$ עבור כל חלוקה $\ P$. אם כך מהגדרת האינטגרל התוצאה נובעת ישירות $$\square \qquad \qquad \qquad F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$$

הכללות

הכללה טבעית של המשפט היסודי של החדו"א לשני ממדים היא משפט גרין. בממדים גבוהים יותר קיימות הכללות מורכבות יותר, כגון משפט גאוס, משפט סטוקס ומשפט הדיפרנציאציה של לבג . עבור אינטגרלים סופיים לא מחושבים, מתקיים משפט שימור האינטגרל.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי בוויקישיתוף

• המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, באתר MathWorld (באנגלית)
• המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

גדי אלכסנדרוביץ', המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, באתר "לא מדויק", 2 בינואר 2011