התפלגות גאומטרית

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, ההתפלגות הגאומטרית היא אחת משתי התפלגויות ההסתברות הבדידות הבאות:

  • התפלגות ההסתברות של – מספר ניסויי ברנולי הנדרשים עד להשגת הצלחה אחת. נע בטווח .
  • התפלגות ההסתברות של – מספר הכשלונות בניסויי ברנולי לפני ההצלחה הראשונה. נע בטווח .
התפלגות גאומטרית ("סופרת ניסיונות")
פונקציית ההסתברות
Geometricpdf1-dashed.png
פונקציית ההסתברות המצטברת
Geometriccdf1.png
מאפיינים
פרמטרים (ההסתברות להצלחה)
תומך
פונקציית הסתברות
(pmf)
פונקציית ההסתברות המצטברת
(cdf)
תוחלת
סטיית תקן
חציון (לא יחיד אם הוא מספר שלם)
ערך שכיח
שונות
אנטרופיה
פונקציה יוצרת מומנטים
(mgf)
פונקציה אופיינית
צידוד
גבנוניות

כיצד נקבע מי משתי התפלגויות אלו מכונה ההתפלגות הגאומטרית הוא עניין של מוסכמה ונוחות, בהתאם להקשר.

אם ההסתברות להצלחה בכל ניסיון היא , אז ההסתברות ש- ניסיונות נדרשים עד להשגת ההצלחה הראשונה היא:

בצורה דומה, ההסתברות שיהיו כישלונות לפני ההצלחה הראשונה היא:

בשני המקרים, סדרת ההסתברויות היא סדרה גאומטרית, ומכאן שמה של ההסתברות.

לדוגמה, נניח כי קוביית משחק רגילה מוטלת שוב ושוב עד הפעם הראשונה בה מופיע המספר 1. התפלגות מספר זריקות הקוביה היא התפלגות גאומטרית עם הפרמטר .

תכונותעריכה

  1. חוסר זיכרון. לאחר   כישלונות הסיכוי להצלחה בניסיון ה- , שווה לסיכוי להצלחה בניסיון ה- :  .
  2. הסיכוי שההצלחה הראשונית תקרה לאחר n ניסיונות הוא הסתברות ל-  כישלונות רצופים:  .
  3. התוחלת והשונות של מספר הניסיונות עד להצלחה:  
  4. התוחלת והשונות של מספר הכשלונות עד להצלחה:  

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה