ורונסקיאן

בתורת המשוואות הדיפרנציאליות הרגילות, הוורונסקיאן (wronskian באנגלית) היא פונקציה שמסייעת לפתרון מערכות של משוואות ומשוואות מסדר גבוה. קרויה על שמו של יוזף מאריה הנה-ורונסקי (1776-1853) (בפולנית: Józef Maria Hoene-Wroński), מתמטיקאי ופילוסוף פולני.

הגדרה פורמלית

בהינתן קבוצה של $\ n$ פונקציות, $\ f_{1},\dots ,f_{n}$, הוורונסקיאן שלהן מוגדר בתור הדטרמיננטה הבאה:

$W(f_{1},\ldots ,f_{n})={\begin{vmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots &f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots &f_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots &f_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}$

כלומר, זוהי הדטרמיננטה שמתקבלת מכך שמציבים את הפונקציות בשורה הראשונה, את הנגזרת הראשונה שלהן בשורה השנייה וכן הלאה, עד הנגזרת ה- $\ n-1$. נשים לב שהוורונסקיאן הוא פונקציה: עבור כל $\ x$ הוא מחזיר את הדטרמיננטה כאשר הפונקציות ונגזרותיהן מחושבות בנקודה $\ x$.

הוורונסקיאן משמש לבדיקת תלות ליניארית של פונקציות: אם הוורונסקיאן של קבוצת פונקציות שונה מאפס בקטע כלשהו, אז הפונקציות בלתי תלויות בקטע זה. ההפך אינו בהכרח נכון - ייתכן שהוורונסקיאן יתאפס מבלי שהפונקציות יהיו תלויות ליניארית. עם זאת, כאשר כל הפונקציות הן פתרון של משוואה דיפרנציאלית ליניארית כלשהי, התאפסות הוורונסקיאן גוררת את תלות הפונקציות. לכן ניתן להשתמש בוורונסקיאן כדי לבדוק תלות בין פתרונות של אותה משוואה דיפרנציאלית.

עבור מערכת של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר ראשון נהוג להגדיר את הוורונסקיאן בצורה מעט שונה. כל פתרון של המערכת הוא פונקציה וקטורית, ולכן כל עמודה של הוורונסקיאן מכילה את הרכיבים של פונקציה אחת, במקום את הנגזרות שלה. הגדרה זו שקולה להגדרה המקורית במובן זה שאם מתרגמים משוואה ליניארית ממעלה $\ n$ למערכת של $\ n$ משוואות ליניאריות ממעלה ראשונה, הוורונסקיאן של הפתרונות יהיה זהה.

עבור ורונסקיאן של מערכת משוואות $\ {\vec {Y'}}=A{\vec {Y}}$ כאשר $\ A=(a_{ij})$ היא מטריצה מסדר $\ n\times n$ מתקיימת זהות אבל: אם $\ W(x)$ הוא הוורונסקיאן של קבוצת פתרונות של המערכת בנקודה $\ x$ אז מתקיים $\ W(x)=W(x_{0})e^{\int _{x_{0}}^{x}\sum _{i=1}^{n}a_{ii}(t)dt}$ מזהות זו ברור כי הוורונסקיאן מתאפס בכל נקודה או שאינו מתאפס כלל (שכן האקספוננט אינו יכול להתאפס, ולכן אם $\ W(x)=0$ אז בהכרח גם $\ W(x_{0})=0$).

ראו גם

• זהות אבל

קישורים חיצוניים

• ורונסקיאן, באתר MathWorld (באנגלית)