תלויה ליניארית הוא מושג באלגברה ליניארית המתאר קבוצת וקטורים במרחב וקטורי , אשר אפשר להציג אחד מהווקטורים שלה כצירוף ליניארי של וקטורים אחרים בקבוצה.
לדוגמה, שלושת הווקטורים (1, 0, 0), (0,1,0) ו-(0, 0, 1) ב-
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
בלתי תלויים ליניארית , אולם (2, 1-, 1), (1, 0, 1) ו-(3, 1-, 2) הם וקטורים תלויים ליניארית (מפני שהווקטור השלישי הוא סכום שני הווקטורים הראשונים).
יהא
V
{\displaystyle \ V}
תת מרחב ליניארי מעל שדה
F
{\displaystyle \ \mathbb {F} }
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}
V
{\displaystyle \ V}
תלויים ליניארית מעל
F
{\displaystyle \ \mathbb {F} }
סקלרים
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
{\displaystyle \ a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}
F
{\displaystyle \ \mathbb {F} }
אפסים , כך ש-
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
⋯
+
a
n
v
n
=
{
0
}
{\displaystyle \ a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\{0\}}
∑
i
=
1
n
a
i
v
i
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} \,}
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}
בלתי תלויים ליניארית , או בקיצור בת"ל.
מכאן נובע כי הווקטורים
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}
אם ורק אם מן השוויון
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
⋯
+
a
n
v
n
=
0
{\displaystyle \ a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} }
a
i
=
0
{\displaystyle \ a_{i}=0}
1
≤
i
≤
n
{\displaystyle \ 1\leq i\leq n}
המרחב המוקרן על ידי תלות ליניארית
עריכה
תלות ליניארית בין וקטורים
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle \ (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}
n
{\displaystyle \ n}
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
…
+
a
n
v
n
=
0
{\displaystyle \ a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\ldots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} }
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}
מרחב וקטורי , שהוא תת-מרחב של
F
n
{\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}
הנה מספר דוגמאות שנועדו להבהיר את רעיון התלות הליניארית:
הווקטורים (1, 1), (2, 3-) ב
R
2
{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{2}}
הוכחה:
יהיו
a
{\displaystyle \ a}
b
{\displaystyle \ b}
a
(
1
,
1
)
+
b
(
−
3
,
2
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle a(1,1)+b(-3,2)=(0,0)\,}
(
a
−
3
b
,
a
+
2
b
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle (a-3b,a+2b)=(0,0)\,}
וכן
a
−
3
b
=
0
{\displaystyle a-3b=0\,}
ו
a
+
2
b
=
0.
{\displaystyle a+2b=0.\,}
a
{\displaystyle \ a}
b
{\displaystyle \ b}
b
=
0
{\displaystyle \ b=0}
a
=
0
{\displaystyle \ a=0}
יהי
V
=
R
n
{\displaystyle \ V=\mathbb {R} ^{n}}
V
{\displaystyle \ V}
e
1
=
(
1
,
0
,
0
,
…
,
0
)
{\displaystyle e_{1}=(1,0,0,\ldots ,0)\,}
e
2
=
(
0
,
1
,
0
,
…
,
0
)
{\displaystyle e_{2}=(0,1,0,\ldots ,0)\,}
⋯
{\displaystyle \cdots \,}
e
n
=
(
0
,
0
,
0
,
…
,
1
)
{\displaystyle e_{n}=(0,0,0,\ldots ,1)\,}
אז e1 ,e2 ,...,en הם בלתי תלויים ליניארית.
הוכחה:
נתבונן בקבוצת סקלרים
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
∈
R
{\displaystyle \ a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} }
a
1
e
1
+
a
2
e
2
+
⋯
+
a
n
e
n
=
0
{\displaystyle a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots +a_{n}e_{n}=0\,}
מכיוון ש
a
1
e
1
+
a
2
e
2
+
⋯
+
a
n
e
n
=
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots +a_{n}e_{n}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\,}
מתקיים
a
i
=
0
{\displaystyle \ a_{i}=0}
קישורים חיצוניים
עריכה
