פתיחת התפריט הראשי

באנליזה מתמטית, זהות אוילר, הקרויה על שמו של המתמטיקאי השווייצרי הידוע לאונרד אוילר, היא השוויון הבא:

כל איברי הזהות הם מספרים קבועים:

יופי מתמטיעריכה

זהות אוילר נחשבת בעיני רבים כזהות יוצאת דופן בשל יופיה המתמטי, הנובע מהפעולות הבסיסיות שהיא משלבת בתוכה (חיבור, כפל והעלאה בחזקה) ומהקבועים המתמטיים הבסיסיים שהיא מקשרת ביניהם:

עדות ליופי שרבים מייחסים לזהות ניתן לראות בכך שבמשאל קוראים שערך כתב העת "Physics World" בין קוראיו היא הגיעה למקום הראשון, יחד עם משוואות מקסוול.[1]

הוכחהעריכה

ניתן להוכיח את הזהות על ידי הצבת   בנוסחת אוילר:

 
 
 

כלומר, לאחר ההבנה כי הסינוס של פאי שווה לאפס, וכי הקוסינוס של פאי שווה למינוס אחת, מתקבלת זהות אוילר.

הכללותעריכה

מנוסחת אוילר נובע ששורשי היחידה מסדר n הם המספרים מהצורה   לכל  . סכום שורשי היחידה הוא תמיד 0:

 

טענה זו ניתן להוכיח בדרכים רבות, למשל דרך ההבחנה שסכום שורשי היחידה הוא המקדם של   בפולינום:

 

הצבה של n=2 בסכום נותנת את זהות אוילר.

את נוסחת אוילר ניתן להכליל גם לקווטרניונים, אז מקבלים זהות אוילר מוכללת:

 

לכל   ממשיים המקיימים  .

ראו גםעריכה

לקריאה נוספתעריכה

  • רוברט פ' קריז, המשוואות הגדולות - פריצות דרך במדע מפיתגורס עד הייזנברג, כתר ספרים, 2008, עמ' 91–112.

קישורים חיצונייםעריכה

הערות שולייםעריכה

  1. ^ גרדיאן‏, ובמקום השמיני: 2=1+1, באתר וואלה! NEWS‏, 11 באוקטובר 2004