זהות אוילר

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

באנליזה מתמטית, זהות אוילר, הקרויה על שמו של המתמטיקאי השווייצרי לאונרד אוילר, היא השוויון הבא:

זהות אוילר

כל איברי הזהות הם מספרים קבועים:

הוכחהעריכה

ניתן להוכיח את הזהות על ידי הצבת   בנוסחת אוילר:

 
 
 

כלומר, לאחר ההבנה כי הסינוס של פאי שווה לאפס, וכי הקוסינוס של פאי שווה למינוס אחת, מתקבלת זהות אוילר.

יופי מתמטיעריכה

זהות אוילר נחשבת בעיני רבים כזהות יוצאת דופן בשל יופיה המתמטי, הנובע מהפעולות הבסיסיות שהיא משלבת בתוכה (חיבור, כפל והעלאה בחזקה) ומהקבועים המתמטיים הבסיסיים שהיא מקשרת ביניהם:

עדות ליופי שרבים מייחסים לזהות ניתן לראות בכך שבמשאל קוראים שערך כתב העת "Physics World" בין קוראיו היא הגיעה למקום הראשון, יחד עם משוואות מקסוול.[1]

הכללותעריכה

מנוסחת אוילר נובע ששורשי היחידה מסדר n הם המספרים מהצורה   לכל  . סכום שורשי היחידה הוא תמיד 0:

 

טענה זו ניתן להוכיח בדרכים רבות, למשל דרך ההבחנה שסכום שורשי היחידה הוא המקדם של   בפולינום:

 

הצבה של n=2 בסכום נותנת את זהות אוילר.

את נוסחת אוילר ניתן להכליל גם לקווטרניונים, אז מקבלים זהות אוילר מוכללת:

 

לכל   ממשיים המקיימים  .

ראו גםעריכה

לקריאה נוספתעריכה

  • רוברט פ' קריז, המשוואות הגדולות - פריצות דרך במדע מפיתגורס עד הייזנברג, כתר ספרים, 2008, עמ' 91–112.

קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא זהות אוילר בוויקישיתוף

הערות שולייםעריכה

  1. ^ גרדיאן‏, ובמקום השמיני: 2=1+1, באתר וואלה!‏, 11 באוקטובר 2004