חוג האפס

בתורת החוגים, ענף של המתמטיקה, חוג אפס[1][2][3][4][5] או החוג הטריוויאלי הוא החוג היחיד (עד איזומורפיזם) המורכב מאיבר אחד. (המונח "חוג אפס" מתייחס גם לכל חוג בלי יחידה שריבועו אפס, כלומר, חוג ללא יחידה שבו xy = 0 לכל x ו-y. עמוד זה מתייחס לחוג האיבר היחיד.)

בקטגוריית החוגים בלי יחידה, חוג האפס היא האובייקט הסופי ואילו חוג המספרים השלמים Z היא האובייקט ההתחלתי.

הגדרהעריכה

חוג האפס, שמסומן {0} או פשוט 0, מורכב מהיחידון {0} עם הפעולות + ו · המוגדרות כך ש- 0 + 0 = 0 ו- 0 · 0 = 0.

תכונותעריכה

  • חוג האפס הוא החוג היחיד בו זהות החיבור 0 וזהות הכפל 1 שוות.[6][7] (הוכחה: אם 1 = 0 בחוג R, אז לכל r ב-R, יש לנו  .)
  • האיבר 0 בחוג האפס הוא הזהות המשמש כמספר הופכי של עצמו.
  • קבוצת האיברים ההפיכים של חוג האפס היא הקבוצה הטריוויאלית {0}.
  • האיבר 0 בחוג האפס אינו מחלק אפס.
  • האידיאל היחיד בחוג האפס הוא אידיאל האפס {0}, שהוא גם האידיאל היחיד, השווה לכל החוג. אידיאל זה אינו מקסימלי ואינו ראשוני.
  • חוג האפס אינו שדה ; זה תואם את העובדה שאידיאל האפס שלו אינו מקסימלי. למעשה, אין שדה עם פחות מ-2 איברים.
  • חוג האפס אינו תחום שלמות.[8] אם חוג האפס נחשב בכלל לתחום הוא עניין של מוסכמה, אך ישנם שני יתרונות לא לשקול אותו כתחום. ראשית, זה תואם את ההגדרה שתחום הוא חוג שבו 0 הוא מחלק האפס היחיד (בפרט, 0 נדרש להיות מחלק אפס, שנכשל בחוג האפס). שנית, בדרך זו, עבור מספר שלם חיובי n, החוג Z / n Z (או Z n, שהיא איזומורפית ל-Z / n Z) היא תחום אם ורק אם n הוא ראשוני, אך 1 אינו ראשוני.
  • לכל חוג A קיים הומומורפיזם יחיד (של חוגים) מ-A לחוג האפס. לפיכך חוג האפס היא אובייקט סופי בקטגוריית החוגים.[9]
  • אם A הוא חוג שאינו אפסי, אז אין הומומורפיזם (של חוגים) מחוג האפס ל-A. בפרט, חוג האפס אינו תת-חוג של אף חוג שאינו אפסי.[10]
  • חוג האפס הוא החוג היחיד בעל מאפיין 1.
  • המודול היחיד לחוג האפס הוא מודול האפס.
  • חוג האפס אינה חוג מקומי. זוהי, עם זאת, חוג מקומי למחצה.
  • חוג האפס היא ארטיני (ולכן) נתרי.
  • הספקטרום של חוג האפס הוא הסכמה הריקה.[11]
  • הממד קרול של חוג האפס הוא – ∞.
  • חוג האפס היא פשוטה למחצה אך לא פשוטה.
  • חוג האפס אינו אלגברה פשוטה מרכזית מעל שום שדה.

בניותעריכה

לקריאה נוספתעריכה

  • מייקל ארטין, אלגברה, פרנטיס-הול, 1991.
  • זיגפריד בוש, גאומטריה אלגברית ואלגברה קומוטטיבית, ספרינגר, 2012.
  • מייקל עטיה ו-IG Macdonald, מבוא לאלגברה קומוטטיבית, אדיסון-ווסלי, 1969.
  • ניקולא בורבאקי, אלגברה I, פרקים 1–3.
  • רובין הרטשורן, גאומטריה אלגברית, ספרינגר, 1977.
  • TY Lam, תרגילים בתורת הטבעות הקלאסית, ספרינגר, 2003.
  • סרג' לאנג, אלגברה מהדורה שלישית, ספרינגר, 2002.

קישורים חיצונייםעריכה

הערות שולייםעריכה

  1. ^ Artin, p. 347.
  2. ^ Atiyah and Macdonald, p. 1.
  3. ^ Bosch, p. 10.
  4. ^ Bourbaki, p. 101.
  5. ^ Lam, p. 1.
  6. ^ Artin, p. 347.
  7. ^ Lang, p. 83.
  8. ^ Lam, p. 3.
  9. ^ Hartshorne, p. 80.
  10. ^ Hartshorne, p. 80.
  11. ^ Hartshorne, p. 80.