יהיו
X
1
,
.
.
.
,
X
n
∼
N
(
μ
1
,
σ
1
2
)
{\displaystyle X_{1},...,X_{n}\sim N(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})}
Y
1
,
.
.
.
,
Y
m
∼
N
(
μ
2
,
σ
2
2
)
{\displaystyle Y_{1},...,Y_{m}\sim N(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})}
שונויות והתוחלות שלהם אינן ידועות.
נניח שאנו רוצים לבדוק האם השונויות זהות או שונות. נגדיר את ההשערות שלנו:
H
0
:
σ
1
2
=
σ
2
2
{\displaystyle H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}}
H
1
:
σ
1
2
≠
σ
2
2
{\displaystyle H_{1}:\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}}
כדי לבחון את ההשערות ולקבוע מתי לדחות את השערת האפס נבנה מבחן יחס נראות מוכלל . נגדיר את אומדי הנראות המקסימלית :
μ
^
1
=
X
¯
,
σ
^
1
2
=
1
n
∑
(
X
i
−
X
¯
)
2
{\displaystyle {\hat {\mu }}_{1}={\bar {X}},\quad {\hat {\sigma }}_{1}^{2}={\frac {1}{n}}\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}
μ
^
2
=
Y
¯
,
σ
^
2
2
=
1
m
∑
(
Y
i
−
Y
¯
)
2
{\displaystyle {\hat {\mu }}_{2}={\bar {Y}},\quad {\hat {\sigma }}_{2}^{2}={\frac {1}{m}}\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}
פונקציית הנראות עבור האומדים הללו מקיימת:
L
(
μ
^
1
,
μ
^
2
,
σ
^
1
,
σ
^
2
)
=
(
1
2
π
σ
^
1
)
n
e
−
n
2
(
1
2
π
σ
^
2
)
m
e
−
m
2
{\displaystyle L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2})=\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}_{1}}}\right)^{n}e^{-{\frac {n}{2}}}\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}_{2}}}\right)^{m}e^{-{\frac {m}{2}}}}
תחת השערת האפס, מתקיים שהשונויות שוות, נסמנן
σ
^
0
2
=
∑
(
X
i
−
X
¯
)
2
+
∑
(
Y
i
−
Y
¯
)
2
n
+
m
{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{0}^{2}={\frac {\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}+\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{n+m}}}
L
(
μ
^
1
,
μ
^
2
,
σ
^
0
)
=
(
1
2
π
σ
^
0
)
n
+
m
e
−
n
+
m
2
{\displaystyle L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{0})=\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}_{0}}}\right)^{n+m}e^{-{\frac {n+m}{2}}}}
משני חישובים אלה נקבל שפונקציית יחס הנראות היא:
λ
(
X
,
Y
)
=
L
(
μ
^
1
,
μ
^
2
,
σ
^
1
,
σ
^
2
)
L
(
μ
^
1
,
μ
^
2
,
σ
^
0
)
=
(
σ
^
1
2
σ
^
0
2
)
n
2
(
σ
^
2
2
σ
^
0
2
)
m
2
{\displaystyle \lambda (X,Y)={\frac {L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2})}{L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{0})}}=\left({\frac {{\hat {\sigma }}_{1}^{2}}{{\hat {\sigma }}_{0}^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}\left({\frac {{\hat {\sigma }}_{2}^{2}}{{\hat {\sigma }}_{0}^{2}}}\right)^{\frac {m}{2}}}
λ
(
X
,
Y
)
=
(
(
1
+
∑
(
Y
i
−
Y
¯
)
2
∑
(
X
i
−
X
¯
)
2
)
n
+
m
n
)
−
n
2
(
(
1
+
∑
(
X
i
−
X
¯
)
2
∑
(
Y
i
−
Y
¯
)
2
)
n
+
m
m
)
−
m
2
{\displaystyle \lambda (X,Y)=\left(\left(1+{\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}\right){\frac {n+m}{n}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}\left(\left(1+{\frac {\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}{\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}}\right){\frac {n+m}{m}}\right)^{-{\frac {m}{2}}}}
כעת, נביט בסטטיסטי
T
(
X
,
Y
)
=
∑
(
Y
i
−
Y
¯
)
2
∑
(
X
i
−
X
¯
)
2
{\displaystyle T(X,Y)={\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}}
λ
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \lambda (X,Y)}
נדחה את השערת האפס אם
T
(
X
,
Y
)
>
C
1
{\displaystyle T(X,Y)>C_{1}}
T
(
X
,
Y
)
<
C
2
{\displaystyle T(X,Y)<C_{2}}
α
=
P
(
{
T
(
X
,
Y
)
<
C
2
}
∪
{
T
(
X
,
Y
)
>
C
1
}
)
{\displaystyle \alpha =P\left(\{T(X,Y)<C_{2}\}\cup \{T(X,Y)>C_{1}\}\right)}
כעת, נשים לב לתכונות הבאות:
∑
(
Y
i
−
Y
¯
)
2
/
(
m
−
1
)
∑
(
X
i
−
X
¯
)
2
/
(
n
−
1
)
=
S
Y
2
S
X
2
∼
χ
m
−
1
2
/
(
m
−
1
)
χ
n
−
1
2
/
(
n
−
1
)
=
F
m
−
1
,
n
−
1
{\displaystyle {\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}/(m-1)}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}/(n-1)}}={\frac {S_{Y}^{2}}{S_{X}^{2}}}\sim {\frac {\chi _{m-1}^{2}/(m-1)}{\chi _{n-1}^{2}/(n-1)}}=F_{m-1,n-1}}
לכן, נעדיף להשתמש בסטטיסטי
T
′
(
X
,
Y
)
=
∑
(
Y
i
−
Y
¯
)
2
/
(
m
−
1
)
∑
(
X
i
−
X
¯
)
2
/
(
n
−
1
)
{\displaystyle T'(X,Y)={\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}/(m-1)}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}/(n-1)}}}
n
−
1
,
m
−
1
{\displaystyle n-1,m-1}
נדחה את השערת האפס אם
T
′
(
X
,
Y
)
>
C
1
∗
{\displaystyle T'(X,Y)>C_{1}^{*}}
T
′
(
X
,
Y
)
<
C
2
∗
{\displaystyle T'(X,Y)<C_{2}^{*}}
α
=
P
(
T
′
(
X
,
Y
)
<
C
2
∗
o
r
T
′
(
X
,
Y
)
>
C
1
∗
)
{\displaystyle \alpha =P(T'(X,Y)<C_{2}^{*}orT'(X,Y)>C_{1}^{*})}
ולמעשה נוכל למצוא את ערכי ה-C לפי התפלגות F :
C
1
∗
=
F
m
−
1
,
n
−
1
;
1
−
α
2
,
C
2
∗
=
F
m
−
1
,
n
−
1
;
α
2
{\displaystyle C_{1}^{*}=F_{m-1,n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}},C_{2}^{*}=F_{m-1,n-1;{\frac {\alpha }{2}}}}
