הערך נמצא בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה, אתם מתבקשים שלא לערוך את הערך בטרם תוסר ההודעה הזו, אלא אם כן תיאמתם זאת עם מניח התבנית.
אם הערך לא נערך במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך אותו, אך לפני כן רצוי להזכיר את התבנית למשתמש שהניח אותה, באמצעות הודעה בדף שיחתו.

במתמטיקה, מספר שלם a הוא מחלק (או גורם) של מספר שלם b אם אפשר לכתוב את b כמכפלה של a במספר שלם c, כלומר אם קיים כך ש-. במקרה כזה, השארית בחלוקה של b ב-a היא 0. באופן פורמלי, נהוג לרשום או כדי לציין ש- a מחלק או לא מחלק את b בהתאמה (לדוגמה, אבל ).


מהגדרה זו נובע באופן מיידי ש- לכל שלם (הומוגניות), ובפרט (רפלקסיביות). כמו כן, לכל שלם ובפרט (כי ). חשוב לזכור שאמנם אפס מחלק את אפס אבל הפעולה החילוק באפס לא מוגדרת. בפרט הביטוי 0:0 לא מוגדר, כיוון שהשיוויון מתקיים עבור כל מספר טבעי .

תכונה נוספת של המחלק היא לינאריות, כלומר אם וגם אז לכל מתקיים . לצורך הוכחת הלינאריות נוכיח תחילה את תכונת האדיטיביות, כלומר אם וגם אז . אם אז ו- ומכאן , לכן . מתכונת הלינאריות ותכונת ההומגניות שהוכחנו קודם נובעת תכונת הלינאריות, כלומר: אם אז וגם (הומגניות), ומכאן (אדיטיביות).

היחס "לחלק את" הוא רפלקסיבי (a|a לכל a), וטרנזיטיבי (אם a|b וגם b|c אז a|c), ולכן הוא מהווה קדם סדר. לעומת זאת היחס אינו אנטי-סימטרי, כי למשל מחלקים זה את זה (כלומר וגם ). בין המספרים הטבעיים היחס הוא יחס סדר חלקי.

למושג המחלק המשותף המקסימלי של שני מספרים יש חשיבות רבה בתורת המספרים האלמנטרית.

המשפט היסודי של האריתמטיקה, לפיו כל מספר טבעי יכול להיכתב כמכפלה ייחודית של מספרים ראשוניים, פרט לשינוי הסדר של הגורמים, גורם לעניין מוגבר במספרים הראשוניים המחלקים מספר נתון, כלומר בגורמים הראשוניים שלו.

הכללהעריכה

כאשר עוסקים בחוג כלשהו, גם כן ניתן לדבר על יחס של חלוקה. נאמר כי איבר   הוא מחלק של איבר   אם קיים בחוג איבר   כך ש- . למשל בחוג הפולינומים במקדמים שלמים, הפולינום   מחלק את  , כי  .

מושג המחלק נחוץ לצורך עיסוק בתחומי פריקות יחידה.

מספר המחלקים הטבעיים של מספר טבעיעריכה

משפט: מספר המחלקים הטבעיים של מספר טבעי המיוצג בצורה:

 

כאשר המספרים:   ראשוניים, והמספרים:   שלמים, (על פי המשפט היסודי של האריתמטיקה, לכל מספר טבעי שונה מ-0 יש הצגה יחידה כמכפלה של מספרים ראשוניים), הוא:

 

מכאן, פונקציית המחלקים   הסופרת את המחלקים של  , היא פונקציה כפלית.

לדוגמה ניקח את המספר 12. ברור כי למספר 12 יש בדיוק שישה מחלקים טבעיים: 1,2,3,4,6,12
נציג את המספר כמכפלה של ראשוניים:  , על פי המשפט נובע כי למספר 12 יש בדיוק:   מחלקים טבעיים.

הוכחה: כדי להיווכח בנכונות המשפט די לשים לב לכך שכל מחלק של המספר   הוא מהצורה   כאשר  .

כלומר, לכל וקטור מהצורה   עם   מותאם מחלק אחד ויחיד. מקומבינטוריקה בסיסית מקבלים כי מספר הווקטורים הזה הוא בדיוק  , שכן יש לנו   בחירות אפשריות לקואורדינטה הראשונה,   בחירות לקואורדינטה השנייה וכן הלאה.

חשוב להדגיש שאם רוצים לספור את מספר המחלקים השלמים (לא בהכרך חיוביים) של מספר שלם  , הם יהיו פי 2 ממספר המחלקים הטבעיים של  . מכיוון שלכל מחלק טבעי ניתן להוסיף את הנגדי לו.

לדוגמה עבור  , המחלקים הם:   (בדיוק 12, שהם פי 2 ממספר המחלקים הטבעיים של 12)

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה