פונקציה כוכבית – הבדלי גרסאות

ב[[אנליזה מרוכבת]], '''פונקציה כוכבית''' (אנגלית: '''Starlike function''') היא [[פונקציה יוני-ולנטיתאוניוולנטית]] (כלומר, [[פונקציה הולומורפית]] ו[[פונקציה חד חד ערכית|חד חד ערכית]]) ב[[מעגל היחידה|עיגול היחידה]], אשר תמונתה היא [[תחום כוכבי]] ביחס לראשית הצירים. '''פונקציה הולומורפית קמורה''' (Convex function) (להבדיל מהמינוח [[פונקציה קמורה]]), היא פונקציה כנ"ל אשר תמונתה היא [[קבוצה קמורה|תחום קמור]].

לפונקציות כוכביות וקמורות תכונות מעניינות בתורת ה[[פונקציה יוני-ולנטיתאוניוולנטית|פונקציות היוני-ולנטיותהאוניוולנטיות]]. '''משפט אלכסנדר''' נותן תנאי הכרחי ומספיק להיות של פונקציה כוכבית.

תהי <math>f : \Omega \to \mathbb{C}</math> [[פונקציה יוני-ולנטיתאוניוולנטית]] (כלומר, [[פונקציה הולומורפית]] ו[[פונקציה חד חד ערכית|חד חד ערכית]]). נאמר ש-<math>f</math> היא

ראשית, נציג תנאים מספיקים והכרחיים להיותה של פונקציה יוני-ולנטיתאוניוולנטית <math>f</math> קמורה או כוכבית.

'''משפט''': הפונקציה היוני-ולנטיתהאוניוולנטית <math>f: \overline{D} \to f(\overline{D})</math> היא קמורה [[אם ורק אם]] מתקיים <math>\forall |z|=1: Re( 1+ \frac{z f''(z)}{f'(z)} ) \ge 0</math>.

'''משפט אלכסנדר''' (J.W> Alexander,1915): נניח ש-<math>f: D \to f(D)</math> יוני-ולנטיתאוניוולנטית. אזי היא הולומורפית קמורה אם ורק אם הפונקציה <math>zf'(z)</math> כוכבית.

[[משפט דה ברנז']] טוען כי המקדמים <math>b_n</math> ב[[טור טיילור|פיתוח טיילור]] של [[פונקציה יוני-ולנטיתאוניוולנטית]] מקיימים <math>|b_n| \le n</math>.