משפט גיבארד-סטרת'ווייט – הבדלי גרסאות

על מנת להראות ש <math>F</math> הינה פונקציית רווחה חברתית, יש להראות שהיחס <math>F\left(P^N\right)</math> הוא שלם וטרנזיטיבי.

 

כל האפשרויות השונות מ- <math>a</math> ו- <math>b</math> מועדפת פחות מ- <math>a</math> על ידי כל הבוחרים, לכן לפי '''משפט עזר 2''', אף אחת מאפשרויות אלה אינה יכולה להיות <math> G\left(Z\left(P^N,W^N;\left\{a,b\right\}\right)\right) </math> . לכן <math> G\left(Z\left(P^N,W^N;\left\{a,b\right\}\right)\right)\in \left\{a,b\right\} </math> .

לפי הגדרת היחס הבינארי <math>F\left(P^N\right)</math> נקבל שלכל זוג אפשרויות <math>a</math> ,<math>b</math> שונות זו מזו ב <math>R</math>, מתקיים: <math>b>_{F\left(P^N\right)}a</math> או <math>a>_{F\left(P^N\right)}b</math>, כלומר, <math>F\left(P^N\right)</math> הוא יחס העדפות שלם על <math>R</math>.

נשים לב גם שאין אדישות ב- <math>F\left(P^N\right)</math>, כלומר, או שהחברה מעדיפה '''ממש''' את <math>b</math> על <math>a</math>, או שהחברה מעדיפה '''ממש''' עת <math>a</math> על <math>b</math>.

 

[[הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי היחס אינו טרנזיטיבי, כלומר קיימים <math>a, b, c \in R</math> כך ש:

<math>a>_{F\left(P^N\right)}b</math>, ו- <math>b>_{F\left(P^N\right)}c</math> '''אבל''' <math>c>_{F\left(P^N\right)}a</math>.

'''נותר להראות ש- <math>F</math> מקיימת את עקרון הפה אחד, ואי תלות באפשרויות לא רלוונטיות.'''

 

 

יהי <math>P^N</math> המקיים <math>a>_{P_i}b</math>, <math>\forall i \in N</math>. צריכים להראות ש- <math>a>_{F\left(P^N\right)}b</math>.

'''לכן <math>F</math> מקיימת את עקרון הפה אחד.'''

 

 

יהיו <math>P^N</math>, <math>Q^N</math>, <math>a</math>, <math>b</math> המקיימים: