מספר ממשי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←מאפיינים: עריכה |
|||
שורה 12:
==מאפיינים==
[[File:Real number line.svg|thumb|250px|דוגמאות למספרים ממשיים]]
לאחר שקובעים את אורכה של יחידה המידה היסודית, האורך של מספר יחידות כאלה נקרא [[מספר שלם]]. מספר ממשי שאפשר לבטא כיחס בין שני מספרים שלמים הוא [[מספר רציונלי]], אך רוב המספרים הממשיים אינם כאלה - [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמתה]] של קבוצת המספרים הממשיים היא [[עוצמת הרצף]] (כפי שהוכח באמצעות [[האלכסון של קנטור]]), ואילו אוסף המספרים הרציונליים הוא [[קבוצה בת מנייה|בן-מניה]]. המספרים הממשיים שאינם רציונליים, כגון [[השורש הריבועי של 2|שורש 2]], [[פאי|<math>\ \pi</math>]] או [[e (קבוע)|e]], נקראים [[מספר אי-רציונלי|אי-רציונליים]]. את קבוצת המספרים האי-רציונליים
* קבוצת ה[[מספר אלגברי|מספרים האלגבריים]]: מספרים המהווים [[שורש (של פונקציה)|שורש]] של [[פולינום]] בעל מקדמים [[מספר רציונלי|רציונליים]] (או [[מספר שלם|שלמים]], אין הבדל). זו [[קבוצה בת מנייה]].
* קבוצת ה[[מספר טרנסצנדנטי|מספרים טרנסצנדנטיים]]: מספרים שאינם מספרים אלגבריים. זו קבוצה שאינה בת מנייה - [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמתה]] היא [[עוצמת הרצף]]. קיומם של מספרים טרנסצנדנטיים הוכח לראשונה בשנת [[1844]] על ידי המתמטיקאי הצרפתי [[ז'וזף ליוביל]] והתוצאה קרויה על שמו [[משפט ליוביל (קירוב דיופנטי)|משפט ליוביל]]. בשנת [[1882]] הוכיח [[פרדיננד לינדמן]] את [[משפט לינדמן]] שקובע, בין השאר, ש־<math>\ \pi</math> ([[פאי]]) הוא מספר טרנסצנדנטי.
כל מספר ממשי אפשר להציג כ[[שבר עשרוני]], בעל מספר סופי או אינסופי של [[ספרה|ספרות]] מימין לנקודה.
ב[[טופולוגיה]] קבוצת המספרים הממשיים היא [[מרחב ספרבילי]], משום שקבוצת [[מספר רציונלי|המספרים הרציונליים]], היא בת מנייה, היא [[קבוצה צפופה]] (שכן כל קטע פתוח מכיל מספר רציונלי).▼
המספרים הממשיים יוצרים [[מרחב מטרי]], שבו המרחק בין x ל-y מוגדר כ[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] {{ללא גלישה|{{!}}''x'' − ''y''{{!}}}}.▼
לכל מספר ממשי אי-שלילי יש [[שורש ריבועי]], ולכל מספר ממשי שלילי אין שורש ריבועי.
▲ב[[טופולוגיה]], קבוצת המספרים הממשיים
מ[[משפט הסדר הטוב]] נובע שניתן לסדר את הממשיים ב[[סדר טוב]], בתנאי שמניחים את קיומה של [[אקסיומת הבחירה]] - קיים [[סדר מלא]] על הממשיים עם התכונה שלכל [[תת-קבוצה]] לא [[הקבוצה הריקה|ריקה]] של הממשיים יש איבר ראשון.▼
[[File:ArchimedischesAxiom.png|thumb|250px|לפי אקסיומת ארכימדס אם מניחים עותקים של קטע קצר בזה אחר זה, בסופו של דבר אפשר יהיה לעבור קטע אחר הארוך ממנו. מכאן ניתן להוכיח שלכל מספר ממשי קיים מספר טבעי שגדול ממנו.]]
▲
▲מ[[משפט הסדר הטוב]] נובע שניתן לסדר את הממשיים ב[[סדר טוב]], בתנאי שמניחים את קיומה של [[אקסיומת הבחירה]] - קיים [[סדר מלא]] על הממשיים עם התכונה שלכל [[תת-קבוצה]] לא [[הקבוצה הריקה|ריקה]] של הממשיים יש איבר ראשון. הסדר הזה שונה עד מאד מן הסדר הטבעי על הממשיים.
==ראו גם==
| |||