פונקציה אינטגרבילית בהחלט

אינטגרביליות באופן מוחלט הוא מושג בתורת המידה, המכליל את מושג האינטרביליות של פונקציה מדידה.

הגדרה פורמלית

נתחיל בכך שנזכר כי מושג האינטגרציה הפשוט ביותר הוא מושג האינטגרציה עבור פונקציות פשוטות. אם $(X,\Sigma ,\mu )$ מרחב מידה ו- $\varphi (x)=\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cdot \chi _{A_{n}}(x)$ היא פונקציה פשוטה, אז האינטגרל של הפונקציה הזו מוגדר להיות $\int \varphi \cdot d\mu =\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cdot \mu (A_{n})$.

בעזרת האינטגרל על הפונקציה הפשוטה אפשר להגדיר אינטגרל על פונקציה מדידה וחיובית ובכך להכליל את מושג האינטגרל. כלומר, אם $f:X\to [0,\infty ]$ היא העתקה מדידה, אז נגדיר את האינטגרל שלה להיות $\int f\cdot d\mu =\sup _{0\leq \varphi \leq f}\int \varphi \cdot d\mu$, כאשר $\varphi$ היא פונקציה פשוטה. מרחב הפונקציות המדידות, החיוביות והאינטגרביליות מסומן ב-$L^{+}(\mu )$.

נשים לב, שלכל פונקציה $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ מתקיים שניתן להציגה אריתמטיקה של שתי פונקציות חיוביות $f=f^{+}-f^{-}$. כאשר, $f^{+}:=\max(f(x),0)$ ו- $f^{-}:=\min(-f(x),0)$. לכן נאמר ש-$f$ אינטגרבילית, אם $\int f^{+}\cdot d\mu <\infty$ וגם $\int f^{-}\cdot d\mu <\infty$. נגדיר את האינטגרל להיות $\int f\cdot d\mu =\int f^{+}\cdot d\mu +\int f^{-}\cdot d\mu$. כמו כן, מרחב הפונקציות האינטגרביליות מסומן ב-$L^{1}(\mu )$.

כעת, נגדיר את המושג אינטגרביליות באופן מוחלט. אם $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ היא העתקה מדידה, נאמר שהיא אינטגרבילית באופן מוחלט אם $\int f^{+}\cdot d\mu <\infty$ או $\int f^{-}\cdot d\mu <\infty$. כלומר, התנאי פה חלש יותר מאשר האינטגרביליות רגילה.

הקשר למידות מסומנות

אם $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ מדידה ואינטגרבילית באופן מוחלט אזי העתקה המוגדרת $\nu :A\to \int _{A}f\cdot d\mu$ היא מידה מסומנת.