שדה חשמלי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←שדה של כדור טעון: הרחבה |
|||
שורה 58:
===שדה של כדור טעון===
[[קובץ:Sec_230.jpg|שמאל|חוק גאוס מיושם לחישוב שדה שיוצר כדור טעון]]
בהינתן [[כדור (גאומטריה)|כדור]]
שיקולי [[סימטריה]] מראים כי קווי השדה החשמלי שיווצרו מחוץ לכדור חייבים להיות מכוונים [[רדיוס|רדיאלית]], כך שהם יהיו מאונכים לפני הכדור. את השדה שייווצר ניתן לחשב לפי [[חוק גאוס]], תוך בחירת מעטפת כדורית שמרחקה ממרכז הכדור הוא <math>\ r</math>. לפי החוק, עבור כל <math>\ r</math> גדול מרדיוס הכדור עצמו (כלומר, כל נקודה מחוץ לכדור): <math>\epsilon_0 \oint \vec E \cdot d\vec S=\Sigma q</math>. מאחר ששטחה של קליפה כדורית הוא <math>\ 4\pi r^2</math>, מקבלים
<math>\ \epsilon_0 E 4\pi r^2=Q</math> או
<math>\ E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2}</math>. כלומר, השדה החשמלי שיוצר כדור מוליך טעון, במרחב שמחוץ לו, הוא זהה לשדה שהיה יוצר מטען זהה שהוא [[נקודה (גאומטריה)|נקודתי]].
על מנת לחשב את השדה בתוכו תחילה יש לחשב את צפיפות המטען ליחידת נפח: <math>\rho\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}</math>, כעת על מנת לחשב את השדה בנקודה מסוימת ברדיוס r בתוך הכדור נבנה מעטפת גאוס כדורית כך שמרכז המעטפת נמצא במרכז הכדור והנקודה מוכלת בשפתו. נשתמש בחוק גאוס: <math> \Phi=\int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_{S}
\overrightarrow E \, \overrightarrow {\mathrm{d}S}
= \frac{1}{\varepsilon_0}\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_{V}
\rho\, \mathrm d V
</math>מכאן: <math> E\int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_{S}ds=E\cdot 4 \pi r^2=\frac{1}{\varepsilon_0}\rho\,\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_{V} \mathrm d V=
\frac{1}{\varepsilon_0}\rho\frac{4}{3}\pi r^3
</math>
נציב את הצפיפות הנפחית:
<math> E\cdot 4 \pi r^2=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{4}{3}\pi r^3\cdot \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}
=\frac{1}{\varepsilon_0}Q\cdot \frac{r^3}{R^3}
</math>
נבודד את השדה, את הכיוון אנחנו יודעים מפאת סימטריה ספריית שהוא רדיאלי.
<math> \vec{E}=Q\frac{r}{4\pi R^3\varepsilon_0}\hat{r}
</math>
==== בכדור מוליך ====
כאשר דנים בבעיות בהם החומר הוא מוליך, ידוע שהשדה בתוך התווך המוליך הוא שווה לאפס כל עוד אין המוליך מכיל מטענים מקובעים בתוכו. עוד ידוע כי כל המטענים מתרכזים על שפת המוליך. זאת כיוון שהאלקטרונים בתוך המוליך נעים לשפתו של המוליך תגובה לכל שדה חשמלי כך שהשדה הנוצר בין שפות המוליך מנוגד בכיוון לשדה המקורי ושווה לו בגודלו. כיוון שכמות האלקטרונים גדולה בכמה סדרי גודל מכל שדה סטנדרטי שנוצר, יכולים האלקטרונים לבטל כל שדה סטנדרטי. לכן בתוך הכדור דנידן, במידה וידוע שהוא מוליך, השדה הוא אפס.
===שדה של תיל ארוך===
| |||