נקודת שבת – הבדלי גרסאות

ב[[מתמטיקה]], '''נקודת שבת''' של [[פונקציה]] היא נקודה ב[[תחום הגדרה|תחום ההגדרה]] של הפונקציה אשר [[תמונה של פונקציה|תמונתה]] היא הנקודה עצמה, כלומר אם <math>\ f(x) </math> היא פונקציה אז הנקודה <math>\ x_0 </math> היא נקודת שבת אם מתקיים <math>\ f(x_0) = x_0 </math>.

[[קובץ:Fixed Point Graph.png|שמאל|ממוזער|200px|פונקציה בעלת שלוש נקודות שבת (שהן נקודות החיתוך של הפונקציה עם הישר <math>y = x</math>)]]

* עבור הפונקציה <math>\ f(x)=2x</math>, הערך <math>\ x=0</math>, הוא נקודת שבת (היחידה), הואיל ו- <math>\ f(0) = 2 \cdot 0 = 0</math> (וזהו הפתרון היחיד למשוואה <math> 2x = x </math> ).

* נקודות שבת "מעניינות" של פונקציה הן כאלו שאם מפעילים את הפונקציה על ערך מסוים, אחר מפעילים אותה שוב על הערך שהתקבל וכן הלאה, הולכים ומתקרבים לנקודת השבת. בניסוח פורמלי: אם עבור בחירה של <math>\ x</math> הקרוב מספיק לנקודת השבת <math>\ x_0</math>, מתקיים <math>\ \lim_{n \rarrto \infty} f^n(x) = x_0</math> (כאן <math>\ f^2(x)=f(f(x))</math> וכדומה). נקודת שבת כזו נקראת '''נקודת שבת יציבה'''.

* <math>f \colon f:[a,b] \to [a,b]</math> [[פונקציה רציפה]]. אזי יש לה נקודת שבת בקטע <math>\ [a,b]</math>.

* משפט ההעתקה המכווצת על הישר הממשי: <math>f: \mathbbcolon \mathbb{R} \to \mathbb {R}</math>. אם קיים קבוע <math>\ K < 1</math> כך ש-<math>\ |f(x)-f(y)|<K|x-y|</math>, לכל <math>x,y\in\mathbb R</math>, אזי יש ל-<math>\ f</math> נקודת שבת אחת ויחידה.

* הרחבה של המשפט הקודם לקבוצה קומפקטית וקמורה ב-<math>\mathbb {R}^n</math> הוא [[משפט נקודת השבת של בראואר]], המוכיח קיום של נקודת שבת במצבים מסוימים, אך לא מראה דרך מעשית למצוא אותה.