בעיית שטיינר – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
לפי דף השיחה, תודה ל-Harel |
מ ←פתיח |
||
שורה 5:
שטיינר שאל על "המכפלה המקסימלית של החלקים של מספר", כלומר, מהו הערך המקסימלי של המכפלה <math>\ a_1 \dots a_{n/m}</math>, כאשר <math>\ a_1,\dots,a_{n/m}</math> הם חלקים של מספר קבוע, n. לפי [[אי שוויון הממוצעים]], הערך המקסימלי מתקבל כאשר כל החלקים שווים זה לזה (ול-m), וערכו <math>\ m^{n/m} = (m^{1/m})^n</math>. מכאן עולה כי כדי למצוא את הערך המקסימלי (עבור n נתון) יש לבחור m כך ש- <math>\ \sqrt[m]{m}</math> יהיה מקסימלי. שטיינר מציין כי "קל למצוא" שה[[נקודת קיצון|מקסימום]] מתקבל כאשר m שווה ל[[℮ (קבוע מתמטי)|בסיס הלוגריתם הטבעי]] (ואכן, זהו תרגיל בסיסי ב[[חשבון אינפיניטסימלי]]).
במכתבו לירחון הוסיף שטיינר שלכל מספר <math>\,c>1</math> קיים בן-זוג יחיד <math>\,d>1</math>, שעבורו <math>\ \sqrt[c]{c}=\sqrt[d]{d}</math> (במספרים שלמים יש למשוואה זו פתרון יחיד: <math>\ \sqrt[2]{2}=\sqrt[4]{4}</math>).
==לקריאה נוספת==
| |||