פתרון משוואת שרדינגר בעבור פוטנציאל מדרגה

במכניקת הקוונטים ותורת הפיזורים, מדרגת הפוטנציאל החד-ממדית היא אידיאליזציה מתמטית המשמשת כדי למדל פגיעה, החזרה והעברה של גלי חומר. הבעיה מתייחסת לפתרון משוואת שרדינגר הבלתי-תלויה בזמן בעבור חלקיק הפוגע בפוטנציאל דמוי מדרגה בממד אחד. בדרך כלל, הפוטנציאל ממודל דרך פונקציית המדרגה של הביסייד.

חישוב

משוואת שרדינגר ופונקציית הפוטנציאל

פיזור על ידי מדרגת פוטנציאל בגובה V₀, המוראית בירוק. באיור מצוינים המשרעות וכיווני התנועה של הגלים הנעים ימינה ושמאלה. הגל הפוגע מסומן בצהוב, הגל המוחזר והמועבר בכחול, ואילו האדום לא ייתכן. E > V₀ באיור הזה.

משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן בעבור פונקציית הגל $\psi (x)$ היא

$H\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x),$

כאשר H הוא ההמילטוניאן, ħ הוא קבוע פלאנק המצומצם, m היא מסת החלקיק ו-E האנרגיה הכוללת שלו. מדרגת הפוטנציאל היא פשוט המכפלה של V₀, גובה המחסום, ופונקציית המדרגה של הביסייד:

$V(x)={\begin{cases}0,&x<0\\V_{0},&x\geq 0\end{cases}}$

המחסום מוצב ב-x = 0, למרות שניתן לבחור בערך שרירותי עבור x₀ מבלי שהדבר ישפיע על התוצאות.

האיבר הראשון בהמילטוניאן, $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi$, הוא האנרגיה הקינטית של החלקיק.

פתרון

המדרגה מחלקת את הישר הממשי לשני חלקים: x < 0 ו-x > 0. בכל אחד מהם הפוטנציאל קבוע, מה שאומר שהחלקיק מתנהג בכל תחום בנפרד כחלקיק חופשי, והפתרון למשוואת שרדינגר הוא סופרפוזיציה של גל המתקדם שמאלה וגל המתקדם ימינה

$\psi _{1}(x)=\left(A_{\rightarrow }e^{ik_{1}x}+A_{\leftarrow }e^{-ik_{1}x}\right)\quad x<0$,

$\psi _{2}(x)=\left(B_{\rightarrow }e^{ik_{2}x}+B_{\leftarrow }e^{-ik_{2}x}\right)\quad x>0$

כאשר הסימנים התחתיים 1 ו-2 מסמלים את התחומים x < 0 ו-x > 0 בהתאמה, והסימנים התחתיים (→) ו-(←) במשרעות A ו-B מסמלים את כיוון וקטור המהירות של החלקיק: ימינה ושמאלה בהתאמה.

מספרי הגל בשני התחומים הם

$k_{1}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}$,

$k_{2}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}$

ולשניהם אותה צורה כמו בקשר דה ברולי (בממד אחד):

$p=\hbar k$.

תנאי שפה

המקדמים A, B ניתנים לקביעה מתנאי השפה של פונקציית הגל ב-x = 0. פונקציית הגל ונגזרתה חייבות להיות רציפות בכל מקום, ולכן:

$\psi _{1}(0)=\psi _{2}(0)$,

${\frac {d}{dx}}\psi _{1}(x){\Big |}_{x=0}={\frac {d}{dx}}\psi _{2}(x){\Big |}_{x=0}$.

לאחר הצבת פונקציות הגל, תנאי השפה מטילים את האילוצים הבאים על המקדמים

$(A_{\rightarrow }+A_{\leftarrow })=(B_{\rightarrow }+B_{\leftarrow })$

$k_{1}(A_{\rightarrow }-A_{\leftarrow })=k_{2}(B_{\rightarrow }-B_{\leftarrow })$

העברה והחזרה

כדי למצוא את המשרעת המוחזרת והמשרעת המועברת בעבור גל הפוגע במדרגה משמאל, נציב במשוואות לעיל A_→ = 1 (חלקיק פוגע), A_← = R (החזרה), B_← = 0 (אין חלקיק הפוגע במדרגה מימין) ו-B_→ = Tk₁/k₂ (העברה). לאחר פתרון בעבור T ו-R, התוצאה היא:

${\sqrt {T}}={\frac {2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}}{k_{1}+k_{2}}}$

${\sqrt {R}}={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}.$

ניתן לפרש גם את ${\sqrt {T}}$ כממוצע הגיאומטרי של מספרי הגל, חלקי הממוצע החשבוני שלהם. ניתן לראות שהתוצאות עבור R,T סימטריות ביחס להחלפה של מספרי הגל.

ניתוח התוצאות

הסתברות המעבר וההחזרה בפוטנציאל מדרגה. במקווקו: התחזית הקלאסית. בקווים מלאים: התחזית הקוונטית. בעבור E < V₀ הבעיה הקלאסית והקוונטית מניבות אותן תחזיות.

אנרגיה נמוכה מגובה המדרגה (E < V₀)

בעבור אנרגיות E < V₀, פונקציית הגל לימין המדרגה היא אקספוננציאלית דועכת.

אנרגיה גבוהה מגובה המדרגה (E > V₀)

בתחום אנרגיות זה מקדמי ההעברה וההחזרה שונים מאשר במקרה הקלאסי. הם זהים עבור פגיעה משמאל ומימין:

$T=|T'|={\frac {4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}}$

$R=|R'|=1-T={\frac {(k_{1}-k_{2})^{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}}$

בגבול של מדרגות נמוכות E ≫ V₀, נקבל k₁ ≈ k₂ וכך נשחזר את התוצאה הקלאסית T = 1, R = 0.

הגבול הקלאסי

התוצאה שהושגה עבור R תלויה רק ביחס האנרגיות E/V₀. זה נדמה כמפר את עקרון ההתאמה, שכן חישבנו הסתברות סופית להחזרה ללא קשר לערכו של קבוע פלאנק או למסה של החלקיק. לדוגמה, החישוב הזה חוזה כי עבור גולה המתגלגלת לקצה השולחן, תהיה הסתברות גבוהה שהיא תוחזר במקום ליפול מקצה השולחן. העקביות עם המכניקה הקלאסית משוחזרת באמצעות הסרת ההנחה הלא-פיזיקלית שמדרגת הפוטנציאל אינה רציפה. כאשר פונקציית המדרגה מוחלפת במדרגה משופעת הנמשכת לאורך מרחק סופי w, אז חישוב מדוקדק העושה שימוש בקירוב WKB מדגים שההסתברות להחזרה שואפת לאפס בגבול $wk\rightarrow \inf$, כאשר k מספר הגל של החלקיק.

ראו גם

• בור פוטנציאל אינסופי
• בור פוטנציאל סופי
• פוטנציאל דלתא