שדה מקומי – הבדלי גרסאות

בשדה מקומי לא ארכימדי ''F'' משתלבים כמה מושגים בסיסיים ב[[טופולוגיה]] וב[[אלגברה]]:

* [[כדור (טופולוגיה)|כדור היחידה הסגור]] <math>\,\{a \in F:\nu(a)\geq 0\}</math>, שהוא [[קומפקטיות|קבוצה קומפקטית]], מהווה תת-חוג של השדה, הנקרא '''חוג השלמים''' <math>\,\mathcal{O}</math>. [[שדה שברים|שדה השברים]] של <math>\,\mathcal{O}</math> הוא ''F'' עצמו.

* חוג השלמים הוא [[חוג מקומי]], שהאידיאל המקסימלי שלו <math>\,\mathfrak{m}</math> שווה לכדור היחידה הפתוח <math>\,\{a\in F:\nu(a)>0\}</math>. זהו [[אידיאל ראשי|אידיאל ראשי]], ואם <math>\ \pi</math> יוצר שלו, אז כל איבר שונה מאפס בשדה אפשר לכתוב, באופן יחיד, כמכפלה <math>\ \pi^n u</math> כאשר u הפיך בחוג השלמים. היוצר מקיים את התכונה <math>\ \nu(\pi)=1</math>.

* חוג המנה <math>\, \bar{F}=\mathcal{O}/\mathfrak{m}</math> הוא [[שדה סופי|שדה סופי]] (מאחר והוא קומפקטי ו[[טופולוגיה דיסקרטית|דיסקרטי]]), הנקרא '''שדה השאריות'''.