מטריצה ריבועית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הפניה לדף מטריצה |
פתיחה; העברה ממטריצה |
||
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], '''מטריצה ריבועית''' היא [[מטריצה]] שמספר העמודות שלה שווה למספר השורות.
בניגוד לסתם מטריצות, המייצגות [[טרנספורמציה ליניארית|העתקות ליניאריות]] ממרחב אחד למרחב אחר, מטריצות ריבועיות יכולות לייצג העתקות ממרחב אל עצמו, ולכן האוסף <math>\ M_n(F)</math> של מטריצות ריבועיות מסדר n על n מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F, סגור ל[[כפל מטריצות|כפל]], ומהווה [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]], הקרויה [[אלגברת מטריצות|אלגברת המטריצות]].
==סוגי מטריצות==
* '''[[מטריצת היחידה]]''' (מסדר <math>\ n\times n</math>) היא המטריצה המסומנת <math>\ I</math> או <math>\ Id</math> (ולעתים <math>I_n</math>) שאיבריה מוגדרים באופן הבא: <math> \ ( Id )_{m,n} = \delta_{m,n}</math> כאשר <math>\ \delta_{m,n}</math> היא [[הדלתא של קרונקר]] המוגדרת כך: <math>\delta_{m,n} =\left\{ \begin{matrix} 1 & m=n \\ 0 & m\ne n \end{matrix} \right.</math>
:מטריצת היחידה נראית כך:
<div style="text-align: center;">
<math> \begin{pmatrix}
1 & 0 & & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 0 & & \vdots \\
& 0 & \ddots & \ddots & \\
\vdots& & \ddots & 1 &0 \\
0 & \cdots & & 0& 1 \\
\end{pmatrix} </math>
</div>
:במטריצה כזאת, איברי ה[[אלכסון ראשי|אלכסון הראשי]] הם 1 וכל שאר איברי המטריצה הם 0. לפי הגדרת כפל המטריצות, ניתן לראות ש<math>\ I</math> מהווה [[איבר נייטרלי]] ביחס ל[[כפל מטריצות]], ומכאן שמה. כלומר, לכל <math>\ A</math> מתקיים <math>\ IA=AI=A</math>, והיא מהווה את איבר היחידה בחוג המטריצות.
* ''מטריצת האפס'' היא המטריצה שכל איבריה הם 0. מטריצה זו היא איבר האפס בחוג המטריצות.
* מטריצה <math>\ A</math> נקראת '''משולשית עליונה''' אם כל איבריה מתחת לאלכסון הראשי שווים 0. באופן דומה, מטריצה <math>\ A</math> נקראת '''משולשית תחתונה''' אם כל איבריה מעל לאלכסון הראשי שווים 0. מכפלה או סכום של שתי מטריצות משולשיות מאותו סוג היא גם מטריצה משולשית. לכן, קבוצת המטריצות המשולשיות סגורה לכפל וחיבור, ומהווה תת-חוג של חוג המטריצות.
* מטריצה <math>\ A</math> נקראת '''אלכסונית''' אם היא גם משולשית עליונה וגם משולשית תחתונה, כלומר כל איבריה פרט לאיברי האלכסון הראשי שלה שווים 0. מטריצה אלכסונית שכל איברי האלכסון הראשי שלה שווים נקראת '''מטריצה סקלרית''', והיא מהצורה <math>\ \lambda I</math>
* מטריצה <math>\ A</math> תיקרא '''[[מטריצה הפיכה|הפיכה]]''' או ''רגולרית'' אם קיימת מטריצה <math>\ B</math> כך ש <math>\ A \cdot B = B \cdot A = I</math> ואז מסמנים <math>\ B^{-1}=A</math> והמטריצה <math>\ B</math> תיקרא ''המטריצה ההפוכה'' או ''ההפכית'' של <math>\ A</math>. מטריצה לא הפיכה נקראת '''[[מטריצה סינגולרית]]'''. מטריצה היא הפיכה אם ורק אם ה[[דטרמיננטה]] שלה שונה מאפס.
* '''[[מטריצה משוחלפת|המטריצה המשוחלפת]]''' של A, שמסומנת <math>\ A^{t}</math> (מבוטא A transposed) היא המטריצה שבה שורות ועמודות A מתחלפות. (כלומר, <math> \ (A)_{k,m} = (A^t)_{m,k}</math>)
* מטריצה <math>\ A</math> תיקרא '''[[מטריצה סימטרית]]''' אם <math>\ A=A^{t}</math>, כלומר האלכסון הראשי מהווה ציר סימטריה שלה. (כלומר, <math> \ (A)_{k,m} = (A)_{m,k}</math>)
* מטריצה <math>\ A</math> תיקרא '''[[מטריצה אנטי-סימטרית]]''' אם <math>\ A=-A^{t}</math>. (כלומר, <math> \ (A)_{k,m} = -(A)_{m,k}</math>)
* '''צמוד הרמיטי''' של מטריצה A מעל [[מספר מרוכב|שדה המרוכבים]], היא מטריצה המוגדרת באופן הבא: <math>\ (A^{\dagger})_{i,j} = \overline{a_{j,i}} </math> . הסימון הוא <math>\ A^{\dagger}</math> שמבוטא A dagger.
* מטריצה A שמקיימת <math>\ a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}</math>, כלומר <math>\ A^{\dagger} = A</math> נקראת '''[[מטריצה הרמיטית]]'''. מעל הממשיים, מטריצה הרמיטית היא '''מטריצה סימטרית'''.
* מטריצה U שמקיימת <math>\ U^{-1} = U^\dagger</math> נקראת '''[[יוניטריות|מטריצה יוניטרית]]'''. זוהי מטריצה ששומרת [[נורמה (מתמטיקה)|נורמה]] ו[[מכפלה פנימית]]. מטריצה יוניטרית ממשית נקראת '''מטריצה אורתוגונלית'''.
* מטריצה <math>\ A</math> תיקרא '''[[מטריצה נילפוטנטית]]''' אם קיים <math>\ q</math> טבעי כך שמתקיים <math>\ A^{q} = 0</math> (כאשר <math>\ 0</math> היא '''מטריצת האפס'''). מההגדרה נובע שרק אפס הוא [[ערך עצמי]] שלה. מעל [[מספר מרוכב|שדה המרוכבים]] היא דומה ל'''מטריצה משולשית''' שכל אברי האלכסון שלה הם 0.
* מטריצה שכל שורותיה הן וקטורי הסתברות, כלומר, כל אבריה אי-שליליים וסכום כל שורה הוא 1 נקראת '''[[מטריצה סטוכסטית]]'''. מטריצות סטוכסטיות משמשות לתיאור [[שרשרת מרקוב|שרשראות מרקוב]].
{{אלגברה לינארית}}
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
[[en:square matrix]]
| |||