מסנן (תורת הקבוצות) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
|||
שורה 1:
<!-- על פי רשימות של ד"ר שמואל דהרי -->
ב[[תורת הקבוצות]], '''מסנן''' מעל [[קבוצה (תורת הקבוצות)|קבוצה]] X הוא משפחה לא ריקה של תת-קבוצות,
== מבוא ==
שורה 9:
'''דוגמאות'''.
# הדרך הקלה ביותר לבנות מסנן היא לקחת את כל הקבוצות המכילות קבוצה קבועה. מסנן כזה נקרא '''מסנן ראשי'''. במובנים רבים המסננים הראשיים הם [[טריוויאלי|טריוויאליים]], ועיקר המאמץ בתורת המסננים מוקדש
# אוסף ה[[סביבה (טופולוגיה)|סביבות]] של נקודה ב[[מרחב טופולוגי]] הוא מסנן.
# כאשר X [[קבוצה אינסופית]], אוסף הקבוצות שהמשלים להן סופי הוא '''המסנן הקו-סופי''' או '''מסנן פרשה''' (על-שם [[מוריס פרשה]], אחד ממייסדי ה[[טופולוגיה]]). באופן כללי יותר אפשר להגדיר את המסנן הקו-<math>\lambda</math>, לכל [[עוצמה]] <math>\ \lambda<|X|</math>.
כל אוסף תת-קבוצות S המקיים את [[תכונת החיתוך הסופי]] יוצר מסנן: אברי המסנן הם הקבוצות המכילות חיתוך סופי כלשהו מ-S.
שורה 30:
נקבע מסנן <math>\ \mathcal{F}</math> מעל קבוצה X. נאמר שתת-קבוצה של X היא "גדולה" אם היא שייכת למסנן, ו"קטנה" אחרת. השימוש החשוב ביותר במסננים הוא לבניית על-מכפלות, באופן הבא: אם לכל <math>\ i \in X</math> יש קבוצה <math>\ A_i</math>, אפשר להגדיר [[יחס שקילות]] על ה[[מכפלה קרטזית]] בהתאם למסנן: <math>\ (a_i) \sim (b_i)</math> אם אוסף האינדקסים שעבורם <math>\ a_i = b_i</math> שייך ל-<math>\ \mathcal{F}</math>. במלים אחרות, מזהים שני וקטורים, אם הם מסכימים זה עם זה בקבוצת אינדקסים גדולה. מרחב המנה <math>\ \prod A_i / \mathcal{F}</math> נקרא "מכפלה מצומצמת". אם <math>\ \mathcal{F}</math> על-מסנן, זוהי ה'''על-מכפלה''' של הקבוצות <math>\ A_i</math>.
המשפט היסודי של על-מכפלות (J. Los, 1955) קובע שהעל-מכפלה של מבנים של [[שפה מסדר ראשון]] L, מקיימת [[פסוק (לוגיקה מתמטית)|פסוק]] של השפה, אם ורק אם הוא מתקיים בקבוצת מודלים גדולה. זוהי תוצאה יסודית ב[[תורת המודלים]]. לדוגמא, אין להתפלא מכך שעל-מכפלה של מספר בן-מניה של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]] היא שדה, אבל גם אם משתתפים במכפלה מספר סופי של חוגים שאינם שדות, העל-מכפלה (ביחס לעל-מסנן לא-ראשי) היא עדיין שדה. אם בוחרים לכל נקודה <math>\ i \in X</math> את אותו מודל <math>\ A_i = A</math>, מתקבלת '''על-חזקה''' <math>\ A^X/\mathcal{F}</math>, והיא [[שקילות אלמנטרית|שקולה אלמנטרית]] ל-A.
מן המשפט היסודי מתקבלת
| |||