מרחב מטרי שלם – הבדלי גרסאות

נוספו 223 בתים ,  לפני 16 שנים
אין תקציר עריכה
מ (קישור)
אין תקציר עריכה
ב[[טופולוגיה]], נאמר על [[מרחב מטרי]] שהוא '''שלם''', אם ורק אם כל [[סדרת קושי]] של נקודות מתוכו היא בעלת [[גבול (מתמטיקה)|גבול]] בו. בצורה אינטואיטיבית, ניתן לומר כי מרחב שלם הוא מרחב שאין בו "חורים": אם יש סדרה של נקודות שהולכות ומתקרבות אחת לשנייה, הן יתקרבו לנקודה אחת מסויימת במרחב. למשל, [[מספר רציונלי|המספרים הרציונליים]] לא מהווים מרחב מטרי שלם, שכן ניתן למשל לבנות סדרת קושי שתתכנס ל-<math>\sqrt{2}</math>, אבל מספר זה אינו רציונלי, ועל כן אינו שייך למרחב.
 
כאשר מדובר ב[[שדה סדור]], השלמות מתייחסת לקיום [[חסם עליון]] לכל קבוצה חסומה. זוהי שונה מהתכנסות של סדרות קושי - ראו [[שדה סדור שלם]] לפרטים.
 
[[תנאי הכרחי ומספיק]] לכך שמרחב מטרי יהיה שלם מנוסח ב[[משפט החיתוך של קנטור]].
מבחינה פורמלית, מרחב Y הוא השלמה של מרחב X אם ורק אם X [[איזומטריה|איזומטרי]] ל[[קבוצה צפופה]] במרחב Y. ניתן להוכיח שכל שתי השלמות של X איזומטריות, כלומר הן זהות בכל הנוגע לתכונות המטריות שלהן.
 
[[מרחב לינארי|מרחב]] [[נורמה (מתמטיקה)|נורמי]] שלם נקרא [[מרחב בנך]]. כל מרחב בנך הוא בפרט מרחב מטרי שלם (ההפך איננו נכון).
 
[[Category:טופולוגיה]]