סדר טוב – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
סדר טוב? |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], '''סדר טוב''' על [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] הוא [[סדר מלא]] שבו לכל [[תת-קבוצה]] לא [[הקבוצה הריקה|ריקה]] יש איבר ראשון. הסדר הטוב מאפשר להשתמש בטכניקה של [[אינדוקציה טרנספיניטית]] על מנת להגדיר או להוכיח תכונות עבור כל אברי הקבוצה. דבר זה מהווה [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של מושג [[אינדוקציה מתמטית|האינדוקציה המתמטית]] הרגילה שמוגדרת רק על [[מספר טבעי|המספרים הטבעיים]].
הסדר הרגיל של המספרים הטבעיים הוא סדר טוב, כי בכל קבוצה של טבעיים יש איבר קטן ביותר. לעומת זאת, הסדר של [[מספר שלם|המספרים השלמים]] אינו סדר טוב - לקבוצת כל השלמים אין איבר ראשון, משום שלכל מספר שלם ניתן למצוא מספר שלם קטן יותר. כל תת-קבוצה של קבוצה סדורה היטב היא סדורה היטב.
שורה 7:
בקבוצה סדורה היטב, לכל איבר (פרט ל[[מקסימום|איבר המקסימלי]], אם יש כזה) יש איבר עוקב מיידי
<ref>
איבר <math>\ y </math> נקרא עוקב מיידי של <math>\ x </math> אם <math>\ y > x </math>
</ref>
וכל חתך
שורה 19:
== מחלקת הקבוצות הסדורות היטב ==
ארבע תכונות חשובות נוספות מתקיימות על מחלקת הסדרים. תכונות אלה מראות כי מחלקת הסדרים המלאים מסודרת [[סדר_מלא | בסדר מלא]], ביחס לפעולה <math> Q \le P </math>
▲2. '''השוואתיות:''' כל שני סדרים טובים ניתנים להשוואה, כלומר אם <math> (P , \le)</math> <math> (Q , \le)</math> סדרים טובים, אז או ש <math>\ Q \cong P</math> או ש <math>\ Q \cong P_x </math> (כאשר <math>\ P_x</math> קטע התחלי של P ) או ש <math>\ Q_y \cong P </math> (כאשר <math>\ Q_y</math> קטע התחלי של Q).
▲3.''' רפלקסיביות:''' תכונה זו מתקיימת באופן טרוייאלי באמצעות [[פונקציית_הזהות | פונקציית הזהות.]]
▲4. '''טרנזטיביות :''' לפי אופן הרכבת פונקציות איזומורפיות אם <math> (M , \le)</math> <math> (P , \le)</math> <math> (Q , \le)</math> סדרים טובים ו <math>\ f : Q \rightarrow P </math> <math>\ g : P \rightarrow M </math> איזומורפיזמים, אז גם <math>\ g \circ f : Q \rightarrow M </math> איזומורפיזם ולכן אם <math>Q \le P </math> וגם <math>P \le M </math> אז <math>Q \le M</math>.
יותר מכך כל תת קבוצה של מחלקת הסדרים מסודרת בסדר טוב, כלומר קיים איבר ראשון בסדר <math> \le </math> כפי שהוגדר לעיל.
שורה 33 ⟵ 30:
== איפיון לקבוצה מסודרת היטב ==
'''טענה:''' <math> (Q , \le) </math> מסודרת היטב
'''הוכחת כיוון ראשון :''' נניח ש- Q לא מסודרת היטב ונבנה סדרה אינסופית יודרת. Q לא מסודרת היטב פירושו שקיימת תת קבוצה P לא ריקה שאין בה איבר ראשון, נבחר איבר <math>\ p_0</math> האיבר <math>
שורה 41 ⟵ 38:
'''הוכחת כיוון שני:''' ננית שקיימת סדרה אינסופית יורדת ונראה ש-Q לא מסודרת היטב. נגדיר קבוצה P שמכילה את כל אברי הסדרה היורדת ורק אותם, ולכן P היא מהצורה <math> P = \left\{p_0 > p_1 > p_2 > p_3 ...\right\}</math> ובתת קבוצה זו אין איבר ראשון, ולכן Q מכילה קבוצה שאין לה איבר ראשון ולכן Q לא מסודרת היטב.
== הערות שוליים ==
| |||