אומגה אחת

במתמטיקה ובפרט בתורת הקבוצות, ω₁ (קרי: אומגה אחת) הוא הסודר הלא בן מניה הראשון.

באופן פורמלי, הוא מוגדר כקבוצת כל הסודרים בני המניה.

תכונות

• השערת הרצף קובעת שעוצמתו שווה לעוצמת הרצף. אם מניחים את שלילתה ואת אקסיומת הבחירה, מקבלים שעוצמתו קטנה ממש מעוצמת הרצף.
• ω₁ הוא מונה עוקב, ומכאן שהוא רגולרי (הקופינליות שלו היא עצמו - אין בו סדרה לא חסומה ובת מניה).
• המרחב הטופולוגי ω₁ הוא דוגמה למרחב שמקיים את אקסיומת המניה הראשונה אך לא את אקסיומת המניה השנייה. המרחב ω₁+1 לא מקיים את אף אחת מהן, אך הוא עדיין קומפקטי. לעומת זאת, המרחב ω₁ הוא לא קומפקטי אף על פי שהוא קומפקטי סדרתית. בכך הם משמשים לדוגמאות נגדיות רבות בטופולוגיה.
• קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של ω₁ היא ω₁+1.

שימושים

ניתן להשתמש ב-ω₁ כדי לבנות את קבוצת כל הקבוצות המדידות לבג. עושים זאת באינדוקציה טרנספיניטית: מתחילים מהקבוצות הפתוחות והסגורות. עבור סודר עוקב α+1, לוקחים את האיחודים והחיתוכים בני המניה של הקבוצות שבנינו עבור α. עבור סודר גבולי, לוקחים איחוד על כל הקבוצות שנבנו לפני כן. עבור ω₁, מתקבלות בדיוק כל הקבוצות המדידות לבג.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.