קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך

בטופולוגיה, קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך היא טכניקה לבניית העתקה אוניברסלית ממרחב טופולוגי X למרחב האוסדורף קומפקטי , שיש לה חשיבות אפילו כאשר X מרחב דיסקרטי. קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של X היא מרחב האוסדורף קומפקטי הגדול ביותר הנוצר על ידי X, במובן שכל העתקה מ-X למרחב האוסדורף קומפקטי מתפצלת באופן יחיד דרך . אם X הוא מרחב רגולרי לחלוטין, אז תמונת X ב- הומיאומורפית ל-X, וכך אפשר לחשוב על X כתת-מרחב צפוף של . במקרה הכללי, ההעתקה אינה מוכרחה להיות חד-חד-ערכית.

אם מניחים את אקסיומת הבחירה, לכל מרחב טופולוגי יש קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך. בלעדיה, אפילו הטענה ש- אינה מוכרחה להיות נכונה, ובפרט קשה לתאר נקודות של באופן ישיר.

אוניברסליות ופונקטוריאליותעריכה

המרחב   והפונקציה מ-X אליו מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל פונקציה רציפה  , כאשר K מרחב האוסדורף קומפקטי, יש המשכה יחידה לפונקציה רציפה  . כרגיל במקרים של אוניברסליות, תכונה זו מאפיינת את   עד כדי הומיאומורפיזם.

ההעתקה   היא חד-חד-ערכית (ולכן הומיאומורפיזם אל התמונה) אם ורק אם X הוא מרחב טיכונוף. ההעתקה   היא הומיאומורפיזם עם תמונה פתוחה אם ורק אם X מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית. תכונת ההרחבה שתוארה לעיל מאשרת כי   הוא פונקטור מן הקטגוריה Top של מרחבים טופולוגיים, אל הקטגוריה CHaus של מרחבי האוסדורף קומפקטיים. נסמן ב-  את פונקטור ההכלה. אז כל מורפיזם   (עבור  ) מתאים באופן יחיד למורפיזם   (באמצעות צמצום ל-X ותכונת האוניברסליות), כלומר  . היינו, הפונקטור   הוא פונקטור צמוד משמאל ל- .

בניהעריכה

אם X מרחב דיסקרטי, אפשר לבנות את   כמרחב כל העל-מסננים על X, עם טופולוגיית סטון. אברי X מתאימים למסננים העיקריים. ידועות גם בניות אחרות, המתאימות למרחב טופולוגי כללי.

קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של חבורה למחצהעריכה

אם S חבורה למחצה דיסקרטית, יש המשכה יחידה של הפעולה מ-S ל-  כך שהכפל מימין בכל איבר הוא רציף, והכפל משמאל בכל איבר של S הוא רציף. המשכה זו היא אסוציאטיבית. מתברר ש-  אוניברסלי כחבורה למחצה קומפקטית והאוסדורף (כלומר ביחס להומומורפיזמים רציפים). אם   חבורות למחצה דיסקרטיות, אז   גם היא תת-חבורה למחצה.

המרכז הטופולוגי של   (הכולל, בהגדרה, את האיברים שהכפל משמאל בהם רציף) שווה למרכז האלגברי. אם S חבורה למחצה אינסופית ובעלת צמצום מימין או משמאל, אז   הוא אידיאל ימני או שמאלי, בהתאמה.

קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של המספרים הטבעיים (עם הטופולוגיה הדיסקרטית) היא אובייקט נחקר ובעל חשיבות בתורת הקבוצות. גם המבנה האלגברי של המספרים הטבעיים משך תשומת לב לא מבוטלת בהקשר זה. אלא שהמבנה האלגברי של הקומפקטיפיקציות   ו-  סבוך להפליא. למשל, במרכזים של  ,   ו-  אין אף איבר שאינו שייך לקבוצה המקורית (הטבעיים בשני המקרים הראשונים, השלמים באחרון). ב-  כמעט ואין שלשות המקיימות את החוק הדיסטריבוטיבי.

מקורותעריכה

  • Hindman and Strauss, Algebra in the Stone-Cech compacification, 2nd ed, 2012. (mostly chapters 4 and 6).