פונקציית איירי

במדעי הטבע, פונקציית איירי (או פונקציית איירי מהסוג הראשון) שסימונה Ai היא פונקציה מיוחדת שקרויה על שם האסטרונום הבריטי ג'ורג' בידל איירי (1801–1892). הפונקציה Ai(x) והפונקציה הקשורה לה Bi(x), הן פתרונות בלתי תלויים ליניארית של המשוואה הדיפרנציאלית

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-xy=0,\,\!$

המכונה משוואת איירי או משוואת סטוקס. זו המשוואה הליניארית הדיפרנציאלית הכי פשוטה עם נקודת מפנה (Turning Point, נקודה בה הצורה של הפתרונות משתנה מפתרון אוסילטורי מתנדנד לפתרון מעריכי).

משוואת איירי היא הפתרון של משוואת שרדינגר עבור חלקיק כלוא בתוך בור פוטנציאל קובי, או עבור חלקיק הנמצא תחת השפעת כח קבוע. מאותה הסיבה, הוא משמש גם כפתרון סמי-קלסי אחיד לקירוב ליד נקודת מפנה בקירוב WKB, כאשר הפוטנציאל ניתן לקירוב מקומי כפונקציה ליניארית של המקום.

פונקציית איירי עומדת גם בבסיס הצורה של עוצמת האור ליד ריכוז קרניים אופטיות, כמו זה של קשת. מבחינה היסטורית, זו הייתה הבעיה שהובילה את איירי לפתח את הפונקציה.

פונקציה אחרת בשם "פונקציית איירי" ממלאת תפקיד חשוב במיקרוסקופיה ובאסטרונומיה. היא מתארת את תבנית התאבכות שנוצרת על ידי מקור מעגלי נקודתי בעקבות עקיפה והתאבכות. זוהי פונקציה דו־ממדית, והיא פונקציית בסל של הרדיוס.

הגדרות

גרף. Ai(x) (איירי) המתכנס באדום ו-Bi(x) ("ביירי") המתבדר בכחול

עבור ערכים ממשיים של x, ניתן להגדיר את פונקציית איירי מהסוג הראשון על ידי אינטגרל רימן לא אמיתי:

$\mathrm {Ai} (x)={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt\equiv {\dfrac {1}{\pi }}\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt,$

שיתכנס כי תנודות מהירות נוטות לבטל זו את זו.

y = Ai(x) מקיימת את משוואת איירי

$y''-xy=0.$

למשוואה הזו יש שני פתרונות בלתי תלויים ליניארית. עד כדי כפל בסקלר, Ai(x) הוא הפתרון בכפוף לתנאי y → 0 כאשר x → ∞. הבחירה הסטנדרטית עבור הפונקציה השנייה היא פונקציית איירי מהסוג השני, שמסומנת Bi(x) (מכונה לעיתים בֵּיירִי, על משקל איירי). הוא מוגדר כפתרון עם אותה משרעת תנודה כמו Ai(x) כאשר x → −∞ השונה בפאזה של π/2:

$\mathrm {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]dt.$

מאפיינים

הערכים של Ai(x) ו-Bi(x) ונגזרותיהם ב-x = 0 נתונים על ידי

${\begin{aligned}\mathrm {Ai} (0)&{}={\frac {1}{3^{\frac {2}{3}}\Gamma ({\tfrac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{3^{\frac {1}{3}}\Gamma ({\tfrac {1}{3}})}},\\\mathrm {Bi} (0)&{}={\frac {1}{3^{\frac {1}{6}}\Gamma ({\tfrac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Bi} '(0)&{}={\frac {3^{\frac {1}{6}}}{\Gamma ({\tfrac {1}{3}})}}.\end{aligned}}$

כאן, Γ, מציין את פונקציית גמא. ניתן לראות מכן שהוורונסקיאן של Ai(x) ו-Bi(x) הוא 1/π.

כאשר x הוא חיובי, Ai(x) היא חיובית, קמורה, ודועכת מעריכית לאפס, ו-Bi(x) חיובית, קמורה, וגדלה באופן אקספוננציאלי. כאשר x הוא שלילי, Ai(x) ו-Bi(x) נעים סביב אפס תדירות שעולה ומשרעת שדועכת. ניתן לראות זאת בבירור בנוסחאות האסימפטוטיות שיופיעו להלן.

פונקציות איירי מאונכות זו לזו במובן שמתקיים

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {Ai} (t+x)\mathrm {Ai} (t+y)dt=\delta (x-y)$

כאשר משתמשים, שוב, באינטגרל רימן לא אמיתי.

נוסחה אסימפטוטית

פונקציית איירי Ai (בכחול), והקירוב הסינוסואידלי-אקספוננציאלי עבורה (סגול)

פונקציית איירי Bi (כחול), והקירוב הסינוסואידלי-אקספוננציאלי עבורה (סגול)

כפי שיוסבר להלן, ניתן להרחיב באופן אנליטי את פונקציות איירי לכל המישור המרוכב, לקבלת פונקציות שלמות. את ההתנהגות האסימפטוטית שלהן, כאשר |z| הולך לאינסוף על ערך קבוע של arg(z) תלוי ב- arg(z): מה שמכונה תופעת סטוקס. עבור |arg(z)| < π יש נוסחה אסימפטוטית ל-Ai(z):

$\mathrm {Ai} (z)\sim {\dfrac {e^{-{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].$

ואחת דומה עבור Bi(z), אבל רק כאשר |arg(z)| < π/3:

$\mathrm {Bi} (z)\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].$

נוסחה מדויקת יותר עבור Ai(z), ונוסחה עבור Bi(z) כאשר π/3 < |arg(z)| < π או, באופן שקול, על Ai(−z) ו-Bi(−z) כאשר |arg(z)| < 2π/3 אבל לא אפס, הן:.

${\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-z)&{}\sim {\frac {\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\\[6pt]\mathrm {Bi} (-z)&{}\sim {\frac {\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\end{aligned}}$

כאשר {{{1}}}, הקירובים טובים אבל אינם קירובים אסימפטוטיים מבחינה פורמלית, כי היחס בין Ai(-z) או Bi(-z) לקירוב לעיל מתבדר כאשר הקוסינוס או הסינוס מתאפסים. הרחבות אסימפטוטיות עבור הגבולות האלה זמינות גם כן. ניתן לראות אותן, למשל, ב-(Abramowitz and Stegun, 1954) ו-(Olver 1974).

קלטים מרוכבים

ניתן להרחיב את ההגדרה של פונקציית איירי למישור המרוכב על ידי האינטגרל

$\mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\tfrac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,$

כאשר האינטגרל הוא על מסילה $C=\left\{t\exp \left(i\pi \cdot \left[-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}{\frac {1-e^{x}}{1+e^{x}}}\right]\right):t\in \mathbb {R} \right\}$, או כל מסילה שמתנהגת דומה אסימפטוטית. לחלופין, ניתן להשתמש במשוואה הדיפרנציאלית y" − xy = 0 כדי להרחיב את הפונקציות Ai(x) ו-Bi(x) להיות פונקציות שלמות במישור המרוכב.

הנוסחה האסימפטוטית של Ai עדיין בתוקף על המישור המרוכב אם לוקחים ערך מוחלט של x^2/3, ו-x אינו על הציר הממשי השלילי. הנוסחה עבור Bi(x) תקפה עבור x בגזרה {x ∈ C : |arg(x)| < (π/3)−δ} עבור דלתא חיובית. כמו כן, הנוסחאות עבור Ai(-x) ו-Bi(-x) תקפות אם x הוא בתחום {x ∈ C : |arg(x)| < (2π/3)−δ}

מההתנהגות האסימפטוטית שלהן נובע שלשתי פונקציות איירי יש אינסוף אפסים על הציר הממשי השלילי. לפונקציה Ai(x) אין אפסים נוספים במישור המרוכב, בעוד שלפונקציה Bi(x) יש אינסוף אפסים בתחום {z ∈ C: π/3 < |arg(z)| < π/2}.

גרפים

$\Re \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]$	$\Im \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]$	$|\mathrm {Ai} (x+iy)|\,$	$\mathrm {arg} \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]\,$

$\Re \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]$	$\Im \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]$	$|\mathrm {Bi} (x+iy)|\,$	$\mathrm {arg} \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]\,$

קשרים לפונקציות מיוחדות אחרות

עבור קלטים חיוביים, פונקציות איירי מקושרות לפונקציות בסל:

${\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {\frac {x}{3}}}\,K_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right),\\\mathrm {Bi} (x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left(I_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)+I_{-{\frac {1}{3}}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)\right).\end{aligned}}$

כאשר I ו-K הם פונקציות בסל מותאמות (modified), דהיינו, הפתרונות של משוואת בסל המותאמת

$x^{2}y''+xy'-\left(x^{2}+{\tfrac {1}{9}}\right)y=0.$

הנגזרת הראשונה של פונקציית איירי היא

$\mathrm {Ai'} (x)=-{\frac {x}{\pi {\sqrt {3}}}}\,K_{\frac {2}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)$

את הפונקציות K_1/3 ו - K_2/3 ניתן להציג עם אינטגרלים שמתכנסים במהירות.

אם הקלט (x) שלילי, ניתן לקשר בין פונקציות איירי לבין פונקציות בסל (הרגילות):

${\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{9}}}\left(J_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)+J_{-{\frac {1}{3}}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)\right),\\\mathrm {Bi} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left(J_{-{\frac {1}{3}}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)-J_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)\right).\end{aligned}}$

כאן, J_±1/3 הם פונקציות בסל, דהיינו, הן פותרות את משוואת בסל:

$x^{2}y''+xy'+\left(x^{2}-{\tfrac {1}{9}}\right)y=0$.

יש גם קשר לפונקציות סקורר , Hi(x) ,Gi(x) שפותרות את המשוואה y" − xy = 1/π. ניתן לתאר את הפונקציות האלה בעזרת פונקציות איירי ואינטגרלים עליהן:

${\begin{aligned}\mathrm {Gi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (x)\int _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt,\\\mathrm {Hi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}$

התמרת פורייה

בעזרת ההגדרה של פונקציית איירי, ניתן לראות באופן ישיר שהתמרת פורייה שלה היא

${\mathcal {F}}(\mathrm {Ai} )(k):=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {Ai} (x)\ e^{-2\pi ikx}\,dx=e^{{\frac {i}{3}}(2\pi k)^{3}}.$

שימושים אחרים של המונח פונקציית איירי

"פונקציית איירי" במשמעות של ההעברה של אינטרפרומטר פברי-פרו

אינטרפרומטר פברי-פרו 

ערך מורחב – אינטרפרומטר פברי-פרו

פונקציית ההעברה של אינטרפרומטר פברי-פרו מכונה לעיתים גם היא "פונקציית איירי"

${\mathcal {F}}(\mathrm {Ai} )(k):=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {Ai} (x)\ e^{-2\pi ikx}\,dx=e^{{\frac {i}{3}}(2\pi k)^{3}}.$

כאשר לשני המשטחים יש החזרה R, ומגדירים

$F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}$

שהוא "מקדם העידון".

עקיפה מצמצם מעגלי

"פונקציית איירי" במובן תבנית העקיפה של צמצם (חריץ) מעגלי

בלי קשר למובנים האחרים, ישנה משמעות שלישית של המונח - הצורה של דיסקת איירי, תבנית העקיפה שנוצרת מחריץ מעגלי. סוג זה של הפונקציה קשור באופן הדוק לפונקציית בסל - מדובר ב"סיבוב" של פונקציית בסל סביב הציר האנכי.

היסטוריה

פונקציית איירי קרויה על שם האסטרונום והפיזיקאי הבריטי ג'ורג' בידל איירי (1801–1892), שנתקל בה כשחקר אופטיקה (Airy, 1838). הכיתוב Ai(x) הוצג על ידי הרולד ג'פרי. איירי מונה לאסטרונום המלכותי הבריטי בשנת 1835, והחזיק במשרה עד פרישתו בשנת 1881.

לקריאה נוספת

Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642.

• Airy (1838), "On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic", Transactions of the Cambridge Philosophical Society, University Press, 6: 379–402, Bibcode:1838TCaPS...6..379A
• Frank William John Olver (1974). Asymptotics and Special Functions, Chapter 11. Academic Press, New York.
• Press, WH (2007), "Section 6.6.3. Airy Functions", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (שלישית ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8;
• Vallée, Olivier (2004), Airy functions and applications to physics, ISBN 978-1-86094-478-9, MR 2114198, אורכב מ-המקור ב-2010-01-13, נבדק ב-2018-06-27

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית איירי בוויקישיתוף

• פונקציות איירי, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• פונקציית איירי, באתר MathWorld (באנגלית)
• הדפים של הפונקציות Ai ו-Bi, באתר פונקציות וולפרם, כולל נוסחאות וגרפים.