G-מודול

G-מודול הוא חבורה אבלית $M$ שעליה פועלת חבורה $G$ באופן קומפטיבילי למבנה האבלי של $M$.‏ $G$-מודולים משמשים להגדרת קוהומולוגיה של חבורות.

הגדרה

תהי G חבורה ותהי $M$ חבורה אבלית כך ש-$G$ פועלת של $M$ משמאל, כלומר:

$G\times M\to M\quad ;\quad (g,m)\mapsto g\cdot m$

כך ש-$1_{G}\cdot m=m$ ולכל $g_{1},g_{2}\in G$ ו-$m\in M$ מתקיים $g_{1}g_{2}\cdot m=g_{1}\cdot (g_{2}\cdot m)$.

כדי ש-$M$ תהייה $G$-מודול נדרוש שפעולת $G$ מכבדת את המבנה החבורתי האבלי של $M$, כלומר

$\forall g\in G:\forall a,b\in M:g\cdot (a+b)=g\cdot a+g\cdot b$.

במקרה זה אנו אומרים ש-$M$ הוא $G$-מודול שמאלי. אם $G$ פועלת על $M$ מימין באופן דומה נקבל $G$-מודול ימני. את קטגוריית ה-$G$ מודולים השמאליים מסמנים G-Mod ואת קטגוריית ה-$G$-מודולים הימניים מסמנים Mod-G. אלו הן קטגוריות אבליות.

תכונות בסיסיות

בסעיף זה נניח שכל ה-$G$-מודולים הם שמאליים. כל מה שנאמר כאן תקף גם ל-$G$-מודולים ימניים.

העתקה $f:M\rightarrow N$ תיקרא מורפיזם של $G$-מודולים או העתקה $G$-ליניארית או $G$-הומומורפיזם אם היא שומרת על הפעולה של $G$ (כלומר: G-equivariant). באופן מפורש:

$f(a+b)=f(a)+f(b)$ ו-$f(g\cdot m)=g\cdot f(m)$.

האוסף של $G$-מודולים שמאליים והמורפיזמים שלהם יוצרים קטגוריה אבלית G-Mod. ניתן לזהות אותה עם חוג החבורה $\mathbb {Z} [G]$.

תת-$G$-מודול $A$ של $G$-מודול $M$ הוא תת-חבורה $A\subseteq M$ כך ש-$G\cdot A\subseteq A$, כלומר $g\cdot a\in A$ לכל $g\in G$ ו-$a\in A$. במקרה כזה אפשר להגדיר את $G$-מודול המנה $M/A$ כחבורת מנה עם הפעולה $g\cdot (m+A)=g\cdot m+A$.

דוגמאות

• $G$ חבורה כלשהי, $M=(\mathbb {Z} ,+)$ ו-$G$ פועלת טריוויאלית על $M$, כלומר: $g\cdot z=z$.
• $G=\mathbf {GL} _{n}(F)$ החבורה הליניארית הכללית ($F$ שדה) ו-$M=F^{n}$ מרחב וקטורי מעל $F$ מממד $n$.
• $G$ ו-$M$ הן גם חבורות טופולוגיות. במקרה זה דורשים שהפעולה של $G$ על $M$ תהיה גם רציפה.