ממוצע זהותי

במתמטיקה, ממוצע זהותי הוא גודל מתמטי המייצג את הממוצע של שני מספרים ממשיים חיוביים.

עבור שני מספרים ממשיים חיוביים ושונים $a$ ו-$b$, הממוצע הזהותי שלהם מוגדר להיות:

$I(a,b):=\exp \left({\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}-1\right)={\frac {1}{e}}{\sqrt[{a-b}]{\frac {a^{a}}{b^{b}}}}$

כאשר $a=b$ מגדירים $I(a,b):=a=b$

מוטיבציה

משפט הערך הממוצע של לגרנז' קובע כי בהינתן שני מספרים ממשיים $a<b$ ופונקציה $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ רציפה בקטע הסגור $[a,b]$ וגזירה בקטע הפתוח $(a,b)$, אזי קיים $a<c<b$ כך ש:

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

אם הנגזרת $f'$ היא פונקציה חד-חד-ערכית, $c$ זה הוא יחיד וניתן להתייחס אליו כממוצע של $a$ ו-$b$ לפי הפונקציה $f$.

הממוצע הזהותי מתקבל מקביעת $f(x)=x\ln x$.

תכונות

סימטריות

הממוצע הזהותי הוא סימטרי:

$I(a,b)=\exp \left({\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}-1\right)=\exp \left({\frac {b\ln b-a\ln a}{b-a}}-1\right)=I(b,a)$

מונוטוניות

ניתן להוכיח כי הממוצי הזהותי עולה מונוטונית בשני משתנים. כלומר, בהינתן $a_{1}\leq a_{2}$ ו-$b_{1}\leq b_{2}$ ניתן להוכיח כי $I(a_{1},b_{1})\leq I(a_{2},b_{2})$

הומוגניות

הממוצע הזהותי הוא הומוגני. כלומר, לכל $a$ ו-$b$ ולכל מקדם $\alpha >0$:

${\begin{aligned}I(\alpha a,\alpha b)=\exp \left({\frac {\alpha a\ln(\alpha a)-\alpha b\ln(\alpha b)}{\alpha a-\alpha b}}-1\right)\\=\exp \left({\frac {a\ln(\alpha a)-b\ln(\alpha b)}{a-b}}-1\right)\\=\exp \left({\frac {a\ln a+a\ln \alpha -b\ln b-b\ln \alpha }{a-b}}-1\right)\\=\exp \left({\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}+\ln \alpha -1\right)\\=\alpha \exp \left({\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}-1\right)\\=\alpha I(a,b)\end{aligned}}$

רציפות

הממוצע הזהותי $I(x,y)$ הוא רציף בשני משתנים. בנקודות שבהן $x\neq y$ הרציפות נובעת מכך שהממוצע הזהותי הוא הרכבה של פעולות אלמנטריות רציפות כגון חיסור, כפל, חילוק, אקספוננט ולוגריתם. עבור הנקודות שבהן $x=y$ ניתן להיעזר בגבול:

$\lim _{x\to y}{\frac {x\ln x-y\ln y}{x-y}}=\ln y+1$

כדי לקבל ש:

$\lim _{x\to y}{I(x,y)}=\lim _{x\to y}{\exp \left({\frac {x\ln x-y\ln y}{x-y}}-1\right)}=\exp(\ln y+1-1)=y=I(y,y)$

קשר לממוצע סטולרסקי

עבור שני מספרים ממשיים חיוביים $a$ ו-$b$ ומספר ממשי $p\neq 0,1$, ממוצע סטולרסקי מחזקה $p$ מוגדר להיות:

$S_{p}(a,b):={\begin{cases}a&{\text{if }}a=b\\\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

ניתן להוכיח כי על אף שממוצע סטולרסקי אינו מוגדר עבור $p=1$, מתקיים:

$\lim _{p\to 1}{S_{p}(a,b)}=I(a,b)$

מסיבה זו ניתן להתייחס לממוצע הזהותי כמקרה פרטי של ממוצע סטולרסקי מחזקה 1.

קישורים חיצוניים

• ממוצע זהותי, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

יש_בדף_תבנית_MathWorld_טקס