במתמטיקה , ממוצע זהותי הוא גודל מתמטי המייצג את הממוצע של שני מספרים ממשיים חיוביים .
עבור שני מספרים ממשיים חיוביים ושונים
a
{\displaystyle a}
ו-
b
{\displaystyle b}
, הממוצע הזהותי שלהם מוגדר להיות:[1]
I
(
a
,
b
)
:=
exp
(
a
ln
a
−
b
ln
b
a
−
b
−
1
)
=
1
e
a
a
b
b
a
−
b
{\displaystyle I(a,b):=\exp \left({\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}-1\right)={\frac {1}{e}}{\sqrt[{a-b}]{\frac {a^{a}}{b^{b}}}}}
כאשר
a
=
b
{\displaystyle a=b}
מגדירים
I
(
a
,
b
)
:=
a
=
b
{\displaystyle I(a,b):=a=b}
הממוצע הזהותי הוא סימטרי :
I
(
a
,
b
)
=
exp
(
a
ln
a
−
b
ln
b
a
−
b
−
1
)
=
exp
(
b
ln
b
−
a
ln
a
b
−
a
−
1
)
=
I
(
b
,
a
)
{\displaystyle I(a,b)=\exp \left({\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}-1\right)=\exp \left({\frac {b\ln b-a\ln a}{b-a}}-1\right)=I(b,a)}
ניתן להוכיח כי הממוצי הזהותי עולה מונוטונית בשני משתנים. כלומר, בהינתן
a
1
≤
a
2
{\displaystyle a_{1}\leq a_{2}}
ו-
b
1
≤
b
2
{\displaystyle b_{1}\leq b_{2}}
ניתן להוכיח כי
I
(
a
1
,
b
1
)
≤
I
(
a
2
,
b
2
)
{\displaystyle I(a_{1},b_{1})\leq I(a_{2},b_{2})}
הממוצע הזהותי הוא הומוגני . כלומר, לכל
a
{\displaystyle a}
ו-
b
{\displaystyle b}
ולכל מקדם
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
:
I
(
α
a
,
α
b
)
=
exp
(
α
a
ln
(
α
a
)
−
α
b
ln
(
α
b
)
α
a
−
α
b
−
1
)
=
exp
(
a
ln
(
α
a
)
−
b
ln
(
α
b
)
a
−
b
−
1
)
=
exp
(
a
ln
a
+
a
ln
α
−
b
ln
b
−
b
ln
α
a
−
b
−
1
)
=
exp
(
a
ln
a
−
b
ln
b
a
−
b
+
ln
α
−
1
)
=
α
exp
(
a
ln
a
−
b
ln
b
a
−
b
−
1
)
=
α
I
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}I(\alpha a,\alpha b)=\exp \left({\frac {\alpha a\ln(\alpha a)-\alpha b\ln(\alpha b)}{\alpha a-\alpha b}}-1\right)\\=\exp \left({\frac {a\ln(\alpha a)-b\ln(\alpha b)}{a-b}}-1\right)\\=\exp \left({\frac {a\ln a+a\ln \alpha -b\ln b-b\ln \alpha }{a-b}}-1\right)\\=\exp \left({\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}+\ln \alpha -1\right)\\=\alpha \exp \left({\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}-1\right)\\=\alpha I(a,b)\end{aligned}}}
הממוצע הזהותי
I
(
x
,
y
)
{\displaystyle I(x,y)}
הוא רציף בשני משתנים. בנקודות שבהן
x
≠
y
{\displaystyle x\neq y}
הרציפות נובעת מכך שהממוצע הזהותי הוא הרכבה של פעולות אלמנטריות רציפות כגון חיסור, כפל, חילוק, אקספוננט ולוגריתם . עבור הנקודות שבהן
x
=
y
{\displaystyle x=y}
ניתן להיעזר בגבול :
lim
x
→
y
x
ln
x
−
y
ln
y
x
−
y
=
ln
y
+
1
{\displaystyle \lim _{x\to y}{\frac {x\ln x-y\ln y}{x-y}}=\ln y+1}
כדי לקבל ש:
lim
x
→
y
I
(
x
,
y
)
=
lim
x
→
y
exp
(
x
ln
x
−
y
ln
y
x
−
y
−
1
)
=
exp
(
ln
y
+
1
−
1
)
=
y
=
I
(
y
,
y
)
{\displaystyle \lim _{x\to y}{I(x,y)}=\lim _{x\to y}{\exp \left({\frac {x\ln x-y\ln y}{x-y}}-1\right)}=\exp(\ln y+1-1)=y=I(y,y)}
קשר לממוצע סטולרסקי
עריכה
עבור שני מספרים ממשיים חיוביים
a
{\displaystyle a}
ו-
b
{\displaystyle b}
ומספר ממשי
p
≠
0
,
1
{\displaystyle p\neq 0,1}
, ממוצע סטולרסקי מחזקה
p
{\displaystyle p}
מוגדר להיות:
S
p
(
a
,
b
)
:=
{
a
if
a
=
b
(
a
p
−
b
p
p
(
a
−
b
)
)
1
p
−
1
otherwise
{\displaystyle S_{p}(a,b):={\begin{cases}a&{\text{if }}a=b\\\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
ניתן להוכיח כי על אף שממוצע סטולרסקי אינו מוגדר עבור
p
=
1
{\displaystyle p=1}
, מתקיים:
lim
p
→
1
S
p
(
a
,
b
)
=
I
(
a
,
b
)
{\displaystyle \lim _{p\to 1}{S_{p}(a,b)}=I(a,b)}
מסיבה זו ניתן להתייחס לממוצע הזהותי כמקרה פרטי של ממוצע סטולרסקי מחזקה 1.
יש_בדף_תבנית_MathWorld_טקס