במתמטיקה , ממוצע סטולרסקי הוא גודל מתמטי אשר מתאר את הממוצע של שני מספרים חיוביים . ממוצע זה מאחד את הגדרותיהם של הממוצע החשבוני , הממוצע ההנדסי והממוצע הלוגריתמי .
בהינתן שני מספרים חיוביים
a
{\displaystyle a}
ו-
b
{\displaystyle b}
ומספר ממשי
p
≠
0
,
1
{\displaystyle p\neq 0,1}
, ממוצע סטולרסקי מחזקה
p
{\displaystyle p}
מוגדר להיות:[1]
S
p
(
a
,
b
)
:=
{
a
if
a
=
b
(
a
p
−
b
p
p
(
a
−
b
)
)
1
p
−
1
otherwise
{\displaystyle S_{p}(a,b):={\begin{cases}a&{\text{if }}a=b\\\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
ממוצע סטולרסקי נוסח לראשונה על-ידי קנת' סטולרסקי בשנת 1975 .[2]
ממוצע סטולרסקי הוא סימטרי :
S
p
(
a
,
b
)
=
(
a
p
−
b
p
p
(
a
−
b
)
)
1
p
−
1
=
(
−
1
−
1
⋅
a
p
−
b
p
p
(
a
−
b
)
)
1
p
−
1
=
(
b
p
−
a
p
p
(
b
−
a
)
)
1
p
−
1
=
S
p
(
b
,
a
)
{\displaystyle S_{p}(a,b)=\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\left({\frac {-1}{-1}}\cdot {\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\left({\frac {b^{p}-a^{p}}{p(b-a)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=S_{p}(b,a)}
ניתן להוכיח כי ממוצע סטולרסקי עולה מונוטונית בשני משתנים. כלומר, בהינתן
a
1
≤
a
2
{\displaystyle a_{1}\leq a_{2}}
ו-
b
1
≤
b
2
{\displaystyle b_{1}\leq b_{2}}
ניתן להוכיח כי
S
p
(
a
1
,
b
1
)
≤
S
p
(
a
2
,
b
2
)
{\displaystyle S_{p}(a_{1},b_{1})\leq S_{p}(a_{2},b_{2})}
ממוצע סטולרסקי הוא הומוגני . כלומר, לכל
a
{\displaystyle a}
ו-
b
{\displaystyle b}
ולכל מקדם
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
:
S
p
(
α
a
,
α
b
)
=
(
(
α
a
)
p
−
(
α
b
)
p
p
(
α
a
−
α
b
)
)
1
p
−
1
=
(
α
p
−
1
a
p
−
b
p
p
(
a
−
b
)
)
1
p
−
1
=
α
(
a
p
−
b
p
p
(
a
−
b
)
)
1
p
−
1
=
α
S
p
(
a
,
b
)
{\displaystyle S_{p}(\alpha a,\alpha b)=\left({\frac {(\alpha a)^{p}-(\alpha b)^{p}}{p(\alpha a-\alpha b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\left(\alpha ^{p-1}{\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\alpha \left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\alpha S_{p}(a,b)}
ממוצע סטולרסקי
S
p
(
x
,
y
)
{\displaystyle S_{p}(x,y)}
הוא רציף בשני משתנים. בנקודות שבהן
x
≠
y
{\displaystyle x\neq y}
הרציפות נובעת מכך שממוצע סטולרסקי הוא הרכבה של פעולות אלמנטריות (חזקה, כפל, חיסור וכו') שכולן רציפות. עבור הנקודות שבהן
x
=
y
{\displaystyle x=y}
ניתן להיעזר בגבול :
lim
x
→
y
x
p
−
y
p
x
−
y
=
p
y
p
−
1
{\displaystyle \lim _{x\to y}{\frac {x^{p}-y^{p}}{x-y}}=py^{p-1}}
כדי לקבל ש:
lim
x
→
y
S
p
(
x
,
y
)
=
lim
x
→
y
(
x
p
−
y
p
p
(
x
−
y
)
)
1
p
−
1
=
(
p
y
p
−
1
p
)
1
p
−
1
=
y
=
S
p
(
y
,
y
)
{\displaystyle \lim _{x\to y}{S_{p}(x,y)}=\lim _{x\to y}{\left({\frac {x^{p}-y^{p}}{p(x-y)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}}=\left({\frac {py^{p-1}}{p}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=y=S_{p}(y,y)}
ניתן להוכיח כי לכל שני מספרים חיוביים
a
{\displaystyle a}
ו-
b
{\displaystyle b}
מתקיים:
lim
p
→
∞
S
p
(
a
,
b
)
=
max
(
a
,
b
)
{\displaystyle \lim _{p\to \infty }{S_{p}(a,b)}=\max(a,b)}
כלומר, שהגבול של ממוצע סטולרסקי כאשר
p
→
∞
{\displaystyle p\to \infty }
שואף למקסימום של
a
{\displaystyle a}
ו-
b
{\displaystyle b}
. על כן ניתן להגדיר כי
S
∞
(
a
,
b
)
:=
max
(
a
,
b
)
{\displaystyle S_{\infty }(a,b):=\max(a,b)}
במקרה שבו
p
=
2
{\displaystyle p=2}
מתקבל:
S
2
(
a
,
b
)
=
(
a
2
−
b
2
2
(
a
−
b
)
)
1
2
−
1
=
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
2
(
a
−
b
)
=
a
+
b
2
{\displaystyle S_{2}(a,b)=\left({\frac {a^{2}-b^{2}}{2(a-b)}}\right)^{\frac {1}{2-1}}={\frac {(a-b)(a+b)}{2(a-b)}}={\frac {a+b}{2}}}
זהו למעשה הממוצע החשבוני.
על אף שממוצע סטולרסקי אינו מוגדר ישירות עבור
p
=
1
{\displaystyle p=1}
, ניתן למצוא אותו באמצעות גבול. ניתן להוכיח כי:
lim
p
→
1
S
p
(
a
,
b
)
=
1
e
a
a
b
b
a
−
b
{\displaystyle \lim _{p\to 1}{S_{p}(a,b)}={\frac {1}{e}}{\sqrt[{a-b}]{\frac {a^{a}}{b^{b}}}}}
ממוצע זה הוא הממוצע הזהותי . על כן, ניתן להגדיר כי
S
1
{\displaystyle S_{1}}
היא פונקציית הממוצע הזהותי.
מגדירים:
L
=
lim
p
→
1
S
p
(
a
,
b
)
=
lim
p
→
1
(
a
p
−
b
p
p
(
a
−
b
)
)
1
p
−
1
{\displaystyle L=\lim _{p\to 1}{S_{p}(a,b)}=\lim _{p\to 1}{\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}}}
על ידי הפעלת פונקציית הלוגריתם על שני אגפי המשוואה ושימוש בכלל לופיטל מתקבל:
ln
L
=
lim
p
→
1
ln
(
a
p
−
b
p
)
−
ln
(
p
)
−
ln
(
a
−
b
)
p
−
1
=
lim
p
→
1
ln
a
⋅
a
p
−
ln
b
⋅
b
p
a
p
−
b
p
−
1
p
=
a
ln
a
−
b
ln
b
a
−
b
−
1
{\displaystyle \ln L=\lim _{p\to 1}{\frac {\ln(a^{p}-b^{p})-\ln(p)-\ln(a-b)}{p-1}}=\lim _{p\to 1}{{\frac {\ln a\cdot a^{p}-\ln b\cdot b^{p}}{a^{p}-b^{p}}}-{\frac {1}{p}}}={\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}-1}
על ידי הפעלת פונקציית האקספוננט על שני האגפים מתקבל:
lim
p
→
1
S
p
(
a
,
b
)
=
L
=
exp
(
a
ln
a
−
b
ln
b
a
−
b
−
1
)
=
1
e
a
a
b
b
a
−
b
{\displaystyle \lim _{p\to 1}{S_{p}(a,b)}=L=\exp \left({\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}-1\right)={\frac {1}{e}}{\sqrt[{a-b}]{\frac {a^{a}}{b^{b}}}}}
מש"ל .
גם במקרה
p
=
0
{\displaystyle p=0}
ניתן להגדיר את ממוצע סטולרסקי על-ידי מציאת גבול. ניתן להוכיח כי:
lim
p
→
0
S
p
(
a
,
b
)
=
a
−
b
ln
a
−
ln
b
{\displaystyle \lim _{p\to 0}{S_{p}(a,b)}={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}}
ממוצע זה הוא הממוצע הלוגריתמי . על כן, ניתן להגדיר כי
S
0
{\displaystyle S_{0}}
היא פונקציית הממוצע הלוגריתמי.
על ידי שימוש בכלל לופיטל ניתן להוכיח כי:
lim
p
→
0
a
p
−
b
p
p
=
lim
p
→
0
(
ln
a
⋅
a
p
−
ln
b
⋅
b
p
)
=
ln
a
−
ln
b
{\displaystyle \lim _{p\to 0}{\frac {a^{p}-b^{p}}{p}}=\lim _{p\to 0}{\left(\ln a\cdot a^{p}-\ln b\cdot b^{p}\right)}=\ln a-\ln b}
לכן:
lim
p
→
0
S
p
(
a
,
b
)
=
lim
p
→
0
(
a
p
−
b
p
p
(
a
−
b
)
)
1
p
−
1
=
(
ln
a
−
ln
b
a
−
b
)
1
0
−
1
=
a
−
b
ln
a
−
ln
b
{\displaystyle \lim _{p\to 0}{S_{p}(a,b)}=\lim _{p\to 0}{\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}}=\left({\frac {\ln a-\ln b}{a-b}}\right)^{\frac {1}{0-1}}={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}}
מש"ל .
במקרה שבו
p
=
−
1
{\displaystyle p=-1}
מתקבל:
S
−
1
(
a
,
b
)
=
(
a
−
1
−
b
−
1
−
1
⋅
(
a
−
b
)
)
1
−
1
−
1
=
(
1
a
−
1
b
−
1
⋅
(
a
−
b
)
)
−
1
2
=
(
b
−
a
a
b
−
1
⋅
(
a
−
b
)
)
−
1
2
=
a
b
{\displaystyle S_{-1}(a,b)=\left({\frac {a^{-1}-b^{-1}}{-1\cdot (a-b)}}\right)^{\frac {1}{-1-1}}=\left({\frac {{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}}{-1\cdot (a-b)}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}=\left({\frac {\frac {b-a}{ab}}{-1\cdot (a-b)}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}={\sqrt {ab}}}
זהו למעשה הממוצע הגאומטרי.
p שואף למינוס אינסוף
עריכה
ניתן להוכיח כי לכל שני מספרים חיוביים
a
{\displaystyle a}
ו-
b
{\displaystyle b}
מתקיים:
lim
p
→
−
∞
S
p
(
a
,
b
)
=
min
(
a
,
b
)
{\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{S_{p}(a,b)}=\min(a,b)}
כלומר, שהגבול של ממוצע סטולרסקי כאשר
p
→
−
∞
{\displaystyle p\to -\infty }
שואף למינימום של
a
{\displaystyle a}
ו-
b
{\displaystyle b}
. על כן ניתן להגדיר כי
S
−
∞
(
a
,
b
)
:=
min
(
a
,
b
)
{\displaystyle S_{-\infty }(a,b):=\min(a,b)}