ממוצע סטולרסקי

במתמטיקה, ממוצע סטולרסקי הוא גודל מתמטי אשר מתאר את הממוצע של שני מספרים חיוביים. ממוצע זה מאחד את הגדרותיהם של הממוצע החשבוני, הממוצע ההנדסי והממוצע הלוגריתמי.

בהינתן שני מספרים חיוביים $a$ ו-$b$ ומספר ממשי $p\neq 0,1$, ממוצע סטולרסקי מחזקה $p$ מוגדר להיות:

$S_{p}(a,b):={\begin{cases}a&{\text{if }}a=b\\\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

ממוצע סטולרסקי נוסח לראשונה על-ידי קנת' סטולרסקי בשנת 1975.

מוטיבציה

משפט הערך הממוצע של לגרנז' קובע כי בהינתן שני מספרים ממשיים $a<b$ ופונקציה $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ רציפה בקטע הסגור $[a,b]$ וגזירה בקטע הפתוח $(a,b)$, אזי קיים $a<c<b$ כך ש:

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

אם הנגזרת $f'$ היא פונקציה חד-חד-ערכית, $c$ זה הוא יחיד וניתן להתייחס אליו כממוצע של $a$ ו-$b$ לפי הפונקציה $f$.

ממוצע סטולרסקי מחזקה $p$ מתקבל מקביעת $f(x)=x^{p}$.

תכונות

סימטריות

ממוצע סטולרסקי הוא סימטרי:

$S_{p}(a,b)=\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\left({\frac {-1}{-1}}\cdot {\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\left({\frac {b^{p}-a^{p}}{p(b-a)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=S_{p}(b,a)$

מונוטוניות

ניתן להוכיח כי ממוצע סטולרסקי עולה מונוטונית בשני משתנים. כלומר, בהינתן $a_{1}\leq a_{2}$ ו-$b_{1}\leq b_{2}$ ניתן להוכיח כי $S_{p}(a_{1},b_{1})\leq S_{p}(a_{2},b_{2})$

הומוגניות

ממוצע סטולרסקי הוא הומוגני. כלומר, לכל $a$ ו-$b$ ולכל מקדם $\alpha >0$:

$S_{p}(\alpha a,\alpha b)=\left({\frac {(\alpha a)^{p}-(\alpha b)^{p}}{p(\alpha a-\alpha b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\left(\alpha ^{p-1}{\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\alpha \left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\alpha S_{p}(a,b)$

רציפות

ממוצע סטולרסקי $S_{p}(x,y)$ הוא רציף בשני משתנים. בנקודות שבהן $x\neq y$ הרציפות נובעת מכך שממוצע סטולרסקי הוא הרכבה של פעולות אלמנטריות (חזקה, כפל, חיסור וכו') שכולן רציפות. עבור הנקודות שבהן $x=y$ ניתן להיעזר בגבול:

$\lim _{x\to y}{\frac {x^{p}-y^{p}}{x-y}}=py^{p-1}$

כדי לקבל ש:

$\lim _{x\to y}{S_{p}(x,y)}=\lim _{x\to y}{\left({\frac {x^{p}-y^{p}}{p(x-y)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}}=\left({\frac {py^{p-1}}{p}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=y=S_{p}(y,y)$

מקרים פרטיים

p שואף לאינסוף

ניתן להוכיח כי לכל שני מספרים חיוביים $a$ ו-$b$ מתקיים:

$\lim _{p\to \infty }{S_{p}(a,b)}=\max(a,b)$

כלומר, שהגבול של ממוצע סטולרסקי כאשר $p\to \infty$ שואף למקסימום של $a$ ו-$b$. על כן ניתן להגדיר כי $S_{\infty }(a,b):=\max(a,b)$

p=2

במקרה שבו $p=2$ מתקבל:

$S_{2}(a,b)=\left({\frac {a^{2}-b^{2}}{2(a-b)}}\right)^{\frac {1}{2-1}}={\frac {(a-b)(a+b)}{2(a-b)}}={\frac {a+b}{2}}$

זהו למעשה הממוצע החשבוני.

p=1

על אף שממוצע סטולרסקי אינו מוגדר ישירות עבור $p=1$, ניתן למצוא אותו באמצעות גבול. ניתן להוכיח כי:

$\lim _{p\to 1}{S_{p}(a,b)}={\frac {1}{e}}{\sqrt[{a-b}]{\frac {a^{a}}{b^{b}}}}$

ממוצע זה הוא הממוצע הזהותי. על כן, ניתן להגדיר כי $S_{1}$ היא פונקציית הממוצע הזהותי.

הוכחה

מגדירים:

$L=\lim _{p\to 1}{S_{p}(a,b)}=\lim _{p\to 1}{\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}}$

על ידי הפעלת פונקציית הלוגריתם על שני אגפי המשוואה ושימוש בכלל לופיטל מתקבל:

$\ln L=\lim _{p\to 1}{\frac {\ln(a^{p}-b^{p})-\ln(p)-\ln(a-b)}{p-1}}=\lim _{p\to 1}{{\frac {\ln a\cdot a^{p}-\ln b\cdot b^{p}}{a^{p}-b^{p}}}-{\frac {1}{p}}}={\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}-1$

על ידי הפעלת פונקציית האקספוננט על שני האגפים מתקבל:

$\lim _{p\to 1}{S_{p}(a,b)}=L=\exp \left({\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}-1\right)={\frac {1}{e}}{\sqrt[{a-b}]{\frac {a^{a}}{b^{b}}}}$

מש"ל.

p=0

גם במקרה $p=0$ ניתן להגדיר את ממוצע סטולרסקי על-ידי מציאת גבול. ניתן להוכיח כי:

$\lim _{p\to 0}{S_{p}(a,b)}={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}$

ממוצע זה הוא הממוצע הלוגריתמי. על כן, ניתן להגדיר כי $S_{0}$ היא פונקציית הממוצע הלוגריתמי.

הוכחה

על ידי שימוש בכלל לופיטל ניתן להוכיח כי:

$\lim _{p\to 0}{\frac {a^{p}-b^{p}}{p}}=\lim _{p\to 0}{\left(\ln a\cdot a^{p}-\ln b\cdot b^{p}\right)}=\ln a-\ln b$

לכן:

$\lim _{p\to 0}{S_{p}(a,b)}=\lim _{p\to 0}{\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}}=\left({\frac {\ln a-\ln b}{a-b}}\right)^{\frac {1}{0-1}}={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}$

מש"ל.

p=-1

במקרה שבו $p=-1$ מתקבל:

$S_{-1}(a,b)=\left({\frac {a^{-1}-b^{-1}}{-1\cdot (a-b)}}\right)^{\frac {1}{-1-1}}=\left({\frac {{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}}{-1\cdot (a-b)}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}=\left({\frac {\frac {b-a}{ab}}{-1\cdot (a-b)}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}={\sqrt {ab}}$

זהו למעשה הממוצע הגאומטרי.

p שואף למינוס אינסוף

ניתן להוכיח כי לכל שני מספרים חיוביים $a$ ו-$b$ מתקיים:

$\lim _{p\to -\infty }{S_{p}(a,b)}=\min(a,b)$

כלומר, שהגבול של ממוצע סטולרסקי כאשר $p\to -\infty$ שואף למינימום של $a$ ו-$b$. על כן ניתן להגדיר כי $S_{-\infty }(a,b):=\min(a,b)$

קישורים חיצוניים

• ממוצע סטולרסקי, באתר MathWorld (באנגלית)

• the Stolarsky mean, בביצוע Michael Penn, סרטון באתר יוטיוב