משוואת פל

משוואת פל (באנגלית: Pell's equation) היא משוואה דיופנטית מן הצורה $x^{2}-Dy^{2}=1$ , כאשר $D$ הוא שלם לא ריבועי, ו- $x,y$ נעלמים שצריכים לקבל ערכים שלמים. אם אין ל- $D$ מחלקים ריבועיים, אז למשוואה יש אינסוף פתרונות, שנובעים כולם מפתרון יסודי יחיד. את הפתרון היסודי אפשר לקבל על ידי פיתוח השורש הריבועי של $D$ לשבר משולב. משערים שבמקרה הטיפוסי, הפתרון היסודי הוא מסדר הגודל של $e^{\sqrt {D}}$ .

היסטוריה

משוואת פל נחקרה כבר במאה ה-7 לספירה בהודו, על ידי המתמטיקאי והאסטרונום בראהמגופטה, שפיתח את שיטת Chakravala לפתרון משוואות ממעלה שנייה, ובהן גם משוואת פל. שיטתו זו מופיעה בספרו Brahma Sphuta SiddhaDta כבר בשנת 628, כאלף שנים בטרם זמנו של ג'ון פל. ספרו זה תורגם לערבית בשנת 773, וללטינית ב-1126. הן Bhaskara II במאה ה-12 והן DarayaDa במאה ה-14 גילו פתרונות כלליים למשוואת פל ומשוואות ריבועיות דומות. את "בעיית הבקר של ארכימדס", אפשר לתרגם למשוואת פל, שפתרונה הוא בן 206544 ספרות.

שם המשוואה נקבע על ידי לאונרד אוילר, אשר ייחס את חקירתה למתמטיקאי האנגלי ג'ון פל. ישנם הטוענים שאוילר בלבל בין פל ללורד ברונקר, אשר היה המתמטיקאי האירופי הראשון שגילה פתרון כללי למשוואה. אולם, התייחסות למשוואת פל מופיעה בספר של יוהאן ראהן, אשר נטען שפל תרם לה רבות, וייתכן שאוילר במודע קרא למשוואה על שמו של פל. חקירה יסודית של המשוואה נעשתה על ידי ז'וזף לואי לגראנז'^[1].

משוואת פל ושלמים אלגבריים

הערך $x^{2}-Dy^{2}$ הוא הנורמה של האיבר $x+{\sqrt {D}}y$ בשדה המספרים $\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ . הפתרונות למשוואת פל, אם כן, הם מספרים כאלה, שהנורמה שלהם היא 1. לפי משפט 90 של הילברט, הפתרון הכללי למשוואה הוא

x+{\sqrt {D}}y={\frac {a+{\sqrt {D}}b}{a-{\sqrt {D}}b}}={\frac {a^{2}+Db^{2}}{a^{2}-Db^{2}}}+{\frac {2ab}{a^{2}-Db^{2}}}{\sqrt {D}}

ובגלל ההומוגניות אפשר להניח כי $a,b$ שלמים. זהו, אם כן, הפתרון הכללי במספרים רציונליים.

הדרישה שהמקדמים $x,y$ שלמים פירושה שמחפשים את האיבר דווקא בחוג $\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ , שבו איברים בעלי נורמה 1 הם איברים הפיכים. למעשה האיברים ההפיכים הם בעלי נורמה 1 או 1-, ולכן מעוניינים גם בפתרונות למשוואה $x^{2}-Dy^{2}=-1$ . לעיתים מחפשים פתרונות בחוג השלמים של השדה, השווה לחוג $\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ אם $D\equiv 2,3\,(\!{\bmod {4}})$ , ולחוג $\mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\right]$ אם $D\equiv 1\,(\!{\bmod {4}})$ . במקרה האחרון האיברים ההפיכים מתאימים לפתרונות של המשוואות $x^{2}-Dy^{2}=\pm 1,\pm 4$ . משפט היחידות של דיריכלה מתאר את אוסף האיברים ההפיכים בחוגים כאלה, ולכן אפשר לראות בו הכללה של פתרון משוואת פל.

היתרון בגישה זו הוא שהיא מציעה באופן טבעי פעולת כפל של פתרונות: הנורמה היא פונקציה כפלית, ולכן אם $x_{1}^{2}-Dy_{1}^{2}=1,x_{2}^{2}-Dy_{2}^{2}=1$ מתקבל פתרון נוסף מן המכפלה

(x_{1}^{2}-Dy_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Dy_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Dy_{1}y_{2})^{2}-D(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}=1

באופן כזה אפשר ליצור מפתרון אחד סדרה אינסופית של פתרונות. למעשה, אפשר להוכיח שאוסף הפתרונות הוא בעל מבנה כזה בדיוק: כולם נוצרים מפתרון יסודי אחד. יתרה מזו, הפתרונות לכל משוואה מהצורה $x^{2}-Dy^{2}=k$ מתקבלים מהכפלת מספר סופי של פתרונות יסודיים של המשוואה, בפתרונות השונים של המשוואה $x^{2}-Dy^{2}=1$ .