בערך זהסימון מתמטי .
בתורת ההסתברות , משפט גליבנקו-קנטלי (המכונה לפעמים המשפט היסודי של הסטטיסטיקה ), על שם ולרי איבנוביץ' גליבנקו ופרנצ'סקו פאולו קנטלי ,
הקו האדום מתאר את ההתפלגות המצטברת. הקו הכחול מתאר את ההתפלגות המצטברת האמפירית לפי המדגם. אורכו של החץ השחור הוא המרחק בין ההתפלגויות (המקום שבו המרחק ביניהן הוא מקסימלי). לפי המשפט המרחק בין ההתפלגויות שואף ל-0 כמעט בוודאות. אומר שכאשר גודל המדגם שואף לאינסוף, פונקציית ההתפלגות המצטברת האמפירית המבוססת על אותו המדגם מתכנסת במידה שווה כמעט בוודאות לפונקציית ההתפלגות המצטברת ממנה לקוח המדגם .[1]
ניסוח פורמלי
עריכה
נניח ש
X
1
,
X
2
,
…
{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }
משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות עם פונקציית התפלגות מצטברת
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
פונקציית ההתפלגות המצטברת האמפירית
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}
F
n
(
x
)
=
1
n
∑
i
=
1
n
I
[
X
i
,
∞
)
(
x
)
=
1
n
|
{
i
∣
X
i
≤
x
,
1
≤
i
≤
n
}
|
{\displaystyle F_{n}(x)={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}I_{[X_{i},\infty )}(x)={\tfrac {1}{n}}\ {\biggl |}\left\{\ i\ \mid X_{i}\leq x,\ 1\leq i\leq n\right\}{\biggr |}}
כאשר
I
C
{\displaystyle I_{C}}
פונקציה מציינת של הקבוצה
C
{\displaystyle C}
לכל
x
{\displaystyle x}
החוק החזק של המספרים הגדולים ,
F
n
(
x
)
{\displaystyle \ F_{n}(x)\ }
סדרה של משתנים מקריים המתכנסת ל-
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
כמעט בוודאות . גליבנקו וקנטלי חיזקו תוצאה זו על ידי הוכחה של התכנסות במידה שווה של
F
n
{\displaystyle \ F_{n}\ }
F
{\displaystyle F}
משפט[2]
‖
F
n
−
F
‖
∞
=
sup
x
∈
R
|
F
n
(
x
)
−
F
(
x
)
|
→
a
.
s
.
0
{\displaystyle \|F_{n}-F\|_{\infty }=\sup _{x\in \mathbb {R} }{\biggl |}F_{n}(x)-F(x){\biggr |}\xrightarrow {a.s.} 0}
הסימון .a.s משמעותו התכנסות כמעט בוודאות. משפט זה הוכח על ידי ולרי גליבנקו[3] ופרנצ'סקו קנטלי ,[4]
שימו לב שמתקיים
F
(
x
)
=
Pr
(
X
i
≤
x
)
{\displaystyle F(x)=\Pr(X_{i}\leq x)}
F
(
x
−
)
=
Pr
(
X
i
<
x
)
{\displaystyle F(x-)=\Pr(X_{i}<x)}
כמו כן נזדקק גם לסימון:
F
n
(
x
−
)
=
1
n
∑
i
=
1
n
I
(
X
i
,
∞
)
(
x
)
=
1
n
|
{
i
∣
X
i
<
x
,
1
≤
i
≤
n
}
|
{\displaystyle F_{n}(x-)={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}I_{(X_{i},\infty )}(x)={\tfrac {1}{n}}\ {\biggl |}\left\{\ i\ \mid X_{i}<x,\ 1\leq i\leq n\right\}{\biggr |}}
לפי החוק החזק של המספרים הגדולים
F
n
(
x
)
→
a
.
s
.
F
(
x
)
{\displaystyle F_{n}(x)\xrightarrow {a.s.} F(x)}
F
n
(
x
−
)
→
a
.
s
.
F
(
x
−
)
{\displaystyle F_{n}(x-)\xrightarrow {a.s.} F(x-)}
x
{\displaystyle x}
לכל
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
−
∞
=
x
0
<
x
1
<
⋯
<
x
m
−
1
<
x
m
=
∞
{\displaystyle -\infty =x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{m-1}<x_{m}=\infty }
F
(
x
j
−
)
−
F
(
x
j
−
1
)
<
ϵ
{\displaystyle F(x_{j}-)-F(x_{j-1})<\epsilon }
j
=
1
,
…
,
m
{\displaystyle j=1,\dots ,m}
F
{\displaystyle F}
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
מונוטוניות הלא יורדת של כל הפונקציות המעורבות, לכל
x
j
−
1
≤
x
<
x
j
{\displaystyle x_{j-1}\leq x<x_{j}}
F
n
(
x
)
−
F
(
x
)
≤
F
n
(
x
j
−
)
−
F
(
x
j
−
1
−
)
+
ϵ
F
n
(
x
)
−
F
(
x
)
≥
F
n
(
x
j
−
1
)
−
F
(
x
j
)
−
ϵ
{\displaystyle {\begin{aligned}F_{n}(x)-F(x)&\leq F_{n}(x_{j}-)-F(x_{j-1}-)+\epsilon \\F_{n}(x)-F(x)&\geq F_{n}(x_{j-1})-F(x_{j})-\epsilon \end{aligned}}}
ההתכנסות של
F
n
(
x
)
{\displaystyle F_{n}(x)}
F
n
(
x
−
)
{\displaystyle F_{n}(x-)}
x
{\displaystyle x}
{
x
1
,
.
.
.
,
x
m
−
1
}
{\displaystyle \{x_{1},...,x_{m-1}\}}
lim
sup
‖
F
n
−
F
‖
∞
≤
ϵ
{\displaystyle \lim \sup \|F_{n}-F\|_{\infty }\leq \epsilon }
מאחר שזה נכון לכל
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
[2]
הערות שוליים
עריכה
