משפט גליבנקו-קנטלי
![]() בערך זה |
בתורת ההסתברות, משפט גליבנקו-קנטלי (המכונה לפעמים המשפט היסודי של הסטטיסטיקה), על שם ולרי איבנוביץ' גליבנקו ופרנצ'סקו פאולו קנטלי,
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/KS_Example.png/300px-KS_Example.png)
אומר שכאשר גודל המדגם שואף לאינסוף, פונקציית ההתפלגות המצטברת האמפירית המבוססת על אותו המדגם מתכנסת במידה שווה כמעט בוודאות לפונקציית ההתפלגות המצטברת ממנה לקוח המדגם .[1]
ניסוח פורמלי
עריכהנניח ש הם משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות עם פונקציית התפלגות מצטברת . פונקציית ההתפלגות המצטברת האמפירית עבור מוגדרת על ידי
כאשר היא פונקציה מציינת של הקבוצה .
לכל ממשי, לפי החוק החזק של המספרים הגדולים, היא סדרה של משתנים מקריים המתכנסת ל- כמעט בוודאות. גליבנקו וקנטלי חיזקו תוצאה זו על ידי הוכחה של התכנסות במידה שווה של ל- .
משפט[2]
- הסימון .a.s משמעותו התכנסות כמעט בוודאות.
משפט זה הוכח על ידי ולרי גליבנקו[3] ופרנצ'סקו קנטלי,[4] בשנת 1933.
הוכחה
עריכהשימו לב שמתקיים ו- .
כמו כן נזדקק גם לסימון: .
לפי החוק החזק של המספרים הגדולים ו- לכל .
לכל קיימת חלוקה המקיימת, לכל . (את המקומות שבהן קופצת ב- או יותר בוחרים כחלק מנקודות החלוקה.) בגלל המונוטוניות הלא יורדת של כל הפונקציות המעורבות, לכל מתקיים,
ההתכנסות של ושל לכל נתון היא במידה שווה על הקבוצה הסופית . לכן, כמעט בוודאות.
מאחר שזה נכון לכל , נובעת נכונות המשפט.[2]
ראו גם
עריכה- אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ - מחזק את משפט גליבנקו-קנטלי על ידי כימות קצב ההתכנסות.
הערות שוליים
עריכה- ^ Howard G.Tucker (1959). "A Generalization of the Glivenko–Cantelli Theorem". The Annals of Mathematical Statistics. 30 (3): 828–830. doi:10.1214/aoms/1177706212. JSTOR 2237422.
- ^ 1 2 van der Vaart, A.W. (1998). Asymptotic Statistics. Cambridge University Press. p. 266. ISBN 978-0-521-78450-4.
- ^ Glivenko, V. (1933). "Sulla determinazione empirica delle leggi di probabilità". Giorn. Ist. Ital. Attuari. 4: 92–99.
- ^ "Sulla determinazione empirica delle leggi di probabilità". Giorn. Ist. Ital. Attuari. 4: 421–424. 1933.