פונקציה מציינת

במתמטיקה, פונקציה מציינת, הנקראת גם פונקציה אופיינית או לעיתים גם אינדיקטור, היא פונקציה המוגדרת בקבוצה ומציינת שייכות לתת קבוצה של . הפונקציה המציינת מוגדרת באופן הבא:

הפונקציה המציינת מסומנת לעיתים גם כ-, או כ-, או כ־ באמצעות סוגריי אייברסון. במקרה הפרטי של הפונקציה עבור ו-, הפונקציה נקראת פונקציית היחידה.

תכונות בסיסיותעריכה

אם   ו-  תת-קבוצות של   אזי:

  • תכונת החיתוך:  
  • תכונת האיחוד:   (עקרון ההכלה וההפרדה)
  • תכונת המשלים:  

מסקנות:

  • תכונת ההפרש הסימטרי:  

או לחלופין:  

רציפותעריכה

במרחב טופולוגי, הפונקציה המציינת   רציפה בכל הנקודות הפנימיות של   ושל המשלים של  , ואינה רציפה בכל הנקודות על שפת  . בכל נקודות הרציפות של   הפונקציה גם גזירה, ונגזרתה היא אפס.

מדידותעריכה

משפט: תהי   תת קבוצה אז זו מדידה אם ורק אם  היא  -מדידה

הוכחה: (מתוך סיכום של האוניברסיטה העברית בירושלים) נשים לב כי   וכי  . לכן אם   מדידה קל לראות כי   פונקציה מדידה. מצד שני, אם  פונקציה מדידה, מתקיים   ולכן   מדידה, כנדרש  

הקשר לקבוצת החזקהעריכה

קבוצת הפונקציות המציינות,  , היא איזומורפית לקבוצת החזקה  . האיזומורפיזם בין הקבוצות מובהק ואף מוטמע בסימון של הפונקציה המציינת. ניתן להבין את הקשר באופן הבא:  , כלומר איבר שייך לתת-קבוצה אם ורק אם הפונקציה המציינת המתאימה לקבוצה מקבלת 1 עבור האיבר. מכאן נובע ש-  (ראו עוצמה).

תכולה וקשר לאינטגרלעריכה

עבור   קבוצה המוכלת בקטע  , נגדיר את התכולה הפנימית של   להיות האינטגרל התחתון של הפונקציה המציינת של   בקטע   ואותו הדבר עבור תכולה חיצונית של   על בסיס אינטגרל עליון. אם התכולה הפנימית והתכולה החיצונית של קבוצה הן שוות, אז הן נקראות פשוט התכולה של  . ניתן לראות כי לכל קבוצה בת מניה יש תכולה אפס (זאת אומרת שהתכולה שלה היא אפס), או בצורה כללית יותר, לקבוצה יש תכולה אפס אם"ם קיימת קבוצה סופית של קטעים סגורים כך שאיחודם מכיל את הקבוצה אך סכום האורכים הוא קטן כרצוננו. משפט חשוב בנושא החשבון האינטגרלי הוא שאם לפונקציה חסומה יש קבוצת אי רציפויות שלה היא בעלת תכולה אפס, אז היא אינטגרבילית.

הגדרת אינטגרל לבג ובכלליות כל תאורית תורת המידה נבנת על ידי קירוב של פונקציות אינטגרביליות לבג באמצעות סכומים סופיים חלקיים של פונקציות אינדיקטורים ומידות של גודל הקבוצות (משפט חשוב בתורת המידה הוא כי כל פונקציה מדידה ניתן להצגה כגבול סכומים של פוקנציות אינדיקטורים ומכפלה שלהם במספרים).

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה

  ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.