נתון מדגם מקרי של משתנים מקריים שווי התפלגות ובלתי תלויים ,
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle \ X_{1},\dots ,X_{n}}
F
^
n
(
x
)
=
1
n
∑
i
=
1
n
1
(
−
∞
,
x
]
(
X
i
)
{\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}1_{(-\infty ,x]}(X_{i})}
כאשר הפונקציה המציינת
1
(
−
∞
,
x
]
{\displaystyle \ 1_{(-\infty ,x]}}
1
(
−
∞
,
x
]
(
t
)
=
{
1
if
t
∈
(
−
∞
,
x
]
0
if
t
∉
(
−
∞
,
x
]
{\displaystyle 1_{(-\infty ,x]}(t)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if}}\ t\in (-\infty ,x]\\0&{\mbox{if}}\ t\notin (-\infty ,x]\end{matrix}}\right.}
עבור כל נקודה
x
{\displaystyle x}
1
(
∞
,
x
]
(
X
i
)
{\displaystyle 1_{(\infty ,x]}(X_{i})}
מתפלג ברנולי עם פרמטר
F
(
x
)
{\displaystyle F\left(x\right)}
משתנה מקרי בינומי ,
∑
i
=
1
n
1
(
∞
,
x
]
(
X
i
)
∼
B
(
n
,
F
(
x
)
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}1_{(\infty ,x]}(X_{i})\sim {\textrm {B}}\left(n,F(x)\right)}
מכאן ניתן לחשב את התוחלת ואת השונות של
F
^
n
(
x
)
{\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(x)}
F
^
n
(
x
)
{\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(x)}
F
(
x
)
{\displaystyle \ F(x)}
E
[
F
^
n
(
x
)
]
=
F
(
x
)
{\displaystyle E\left[{\widehat {F}}_{n}(x)\right]=F(x)}
V
a
r
(
F
^
n
(
x
)
)
=
F
(
x
)
(
1
−
F
(
x
)
)
n
{\displaystyle \ Var\left({\widehat {F}}_{n}(x)\right)={\frac {F(x)(1-F(x))}{n}}}
לפי החוק החזק של המספרים הגדולים ,
F
^
n
(
x
)
{\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(x)}
F
(
x
)
{\displaystyle \ F(x)}
אומד עקיב .
לפי משפט גליבנקו-קנטלי,
F
^
n
(
x
)
{\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(x)}
F
(
x
)
{\displaystyle \ F(x)}
sup
x
∈
R
|
F
^
n
(
x
)
−
F
(
x
)
|
→
a.s
0
{\displaystyle \ \sup _{x\in \mathbb {R} }{\big |}{\widehat {F}}_{n}(x)-F(x){\big |}{\xrightarrow {\text{a.s}}}0}
לפי משפט הגבול המרכזי יש ל-
F
^
n
(
x
)
{\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(x)}
התפלגות אסימפטוטית נורמלית,
n
(
F
^
n
(
x
)
−
F
(
x
)
)
→
d
N
(
0
,
F
(
x
)
(
1
−
F
(
x
)
)
)
{\displaystyle \ {\sqrt {n}}{\big (}{\widehat {F}}_{n}(x)-F(x){\big )}{\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}{\Big (}0,F(x){\big (}1-F(x){\big )}{\Big )}}
![{\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}1_{(-\infty ,x]}(X_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec22b65bee897c3d5e88dafb0498af0e2835997)
![{\displaystyle \ 1_{(-\infty ,x]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ce13c495d57a479b39a0b962b9e0a7d909d177c)
![{\displaystyle 1_{(-\infty ,x]}(t)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if}}\ t\in (-\infty ,x]\\0&{\mbox{if}}\ t\notin (-\infty ,x]\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7555c5962d6de03bf5d68e1be0ff5ebcada67d91)
![{\displaystyle 1_{(\infty ,x]}(X_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8db942a7a30b798fd8a342a59f9dd591f914a7)
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}1_{(\infty ,x]}(X_{i})\sim {\textrm {B}}\left(n,F(x)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f53291e38012786dc9202a9906cdbacf27bf554)
![{\displaystyle E\left[{\widehat {F}}_{n}(x)\right]=F(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9def5a5ce065e93558fdf61d35fcfd8992e0d710)
