משפט הערך הממוצע של גאוס

במתמטיקה, משפט הערך הממוצע של גאוס הוא שמם של שני משפטים דומים:

הדמיון בין המשפטים אינו מקרי. החלק הממשי והמרוכב של פונקציה הולומורפית הן פונקציות הרמוניות.

מהמשפט נובע עקרון המקסימום.

פונקציות הולומורפיותעריכה

תהי   פונקציה הולומורפית, ויהי   כך שהעיגול ברדיוס   סביב נקודה   מוכל בתחום של  . אזי:

 

הוכחהעריכה

יהי  . לפי נוסחת האינטגרל של קושי:

 

  היא פרמטריזציה של המעגל  . לכן:

 

פונקציות הרמוניותעריכה

מהשוויון הנ"ל ניתן להסיק שוויון אנלוגי לפונקציות הרמוניות.

נניח ש-  פונקציה הרמונית בתחום פשוט קשר פתוח. לפי משפט מאנליזה מרוכבת, היא מהווה חלק ממשי של פונקציה אנליטית   על התחום. עבור   מתקיים השוויון לעיל, ולכן אם נוציא חלק ממשי נקבל (בגלל שאינטגרל על פונקציה מרוכבת בגבולות ממשיים מוגדר להיות האינטגרל על החלק הממשי שלה ואנטגרל על החלק המדומה שלה כפול i) :

 

תכונה זו נקראת תכונת הערך הממוצע לפונקציות הרמוניות. לפי משפט, פונקציה היא הרמונית אם ורק אם היא מקיימת את תכונת הערך הממוצע.

(כאשר  ). להכללה של העקרונות הללו ראו גרעין פואסון.

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה