משפט קריין-סמוליאן

באנליזה פונקציונלית, משפט קריין-סמוליאן הוא משפט הנותן תנאי הכרחי ומספיק לקבוצה קמורה במרחב הדואלי להיות סגורה בטופולוגיה החלשה. במובן מסוים ניתן לחשוב על המשפט בתור המשפט ההפוך למשפט בנך-אלאוגלו. המשפט קרוי על שם המתמטיקאים מארק קריין וויטולד סמוליאן.

ניסוח המשפט

תהי $A\subset X^{*}$קבוצה קמורה בטופולוגיה החלשה-* ונגדיר $A_{r}=A\cap B_{r}^{*}$ כאשר $B_{r}^{*}$ הוא הכדור ברדיוס r סביב 0 במרחב הדואלי. התנאים הבאים שקולים:

1) A סגורה w*.

2) $A_{r}$ סגורה w* לכל $r>0$.

2') קיימת סדרה $r_{n}\to \infty$ כך שלכל n, $A_{r_{n}}$ סגורה w*.

הוכחה

סימונים: נסמן ב-$B_{r}^{*}$ את הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב הדואלי וב-$B_{r}$ הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב המקורי. כמו כן נסמן ב-$\mathbb {K}$ את שדה הבסיס.

ראשית נשים לב שממשפט בנך אלאוגלו $B_{r}^{*}$ הוא w* קומפקטי ולכן w* סגורה. כמו כן אם $0<s<r$ אז $A_{s}=A_{r}\cap B_{s}^{*}$. מכאן נקבל שקילות בין 2 ל-2'. באותו אופן ברור ש-(1) גורר את (2). הכיוון הקשה הוא $(2)\Rightarrow (1)$.

טענה 1: תכונה (2) אינוורינטית להזזה ולניפוח: אם A מקיימת את (2) אז גם $A+\phi ,\lambda A(\lambda >0,\phi \in X^{*})$ מקיימות את (2).

הוכחה:

ניפוח: לכל $\lambda ,r>0$ מתקיים ש-$(\lambda A)_{r}=\lambda A_{r/\lambda }$. הואיל וכפל בסקלר הוא הומיאמורפיזם בטפולוגיה החלשה נקבל את הדרוש.

הזזה: נקבע $r>0,\phi \in X^{*}$. תהי $\{\psi _{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\subset (A+\phi )_{r}$ רשת המתכנסת w* לאיבר $\psi \in X^{*}$. נראה ש-$\psi \in (A+\phi )_{r}$. מכיוון ש-$B_{r}^{*}$ w* סגורה, מספיק להוכיח ש-$\psi \in A+\phi$. מצד שני מאי שוויון המשולש מתקיים ש-$||\psi _{\lambda }-\phi ||\leq ||\phi ||+||\psi _{\lambda }||\leq ||\phi ||+r$ לכן $\{\psi _{\lambda }-\phi \}_{\lambda \in \Lambda }\subset (A)_{r+||\phi ||}$ רשת המתכנסת ל-$\psi -\phi$. מההנחה נקבל ש-$\psi -\phi \in A\Rightarrow \psi \in A+\phi$ וסיימנו.

טענה 2: אם A מקיימת את תכונה (2) אז A סגורה בטופולוגיה הנורמית.

הוכחה:

תהי $\phi _{n}\to \phi ,\phi _{n}\in A$. בפרט יש $r>0$ כך ש-$\phi _{n}\in A_{r}$. מההנחה $\phi _{n}\to \phi$ ולכן $\phi _{n}{\overset {\mathrm {w} }{\to }}\phi$ ומההנחה $\phi \in A_{r}\subset A$.

המשך הוכחת המשפט:

יהי $\phi \in X^{*}\setminus A$ רוצים למצוא סביבה חלשה $V$ של $\phi$ כך ש-$A\cap V=\emptyset$. על ידי טענה 1 ניתן להניח ש-$\phi =0$. נשתמש בלמה הבאה:

למה: נניח ש-$0\not \in A$ אז יש סדרה $x_{n}\in X$ המקיימת:

1) $x_{n}\to 0$

2) לכל $\phi \in A$ יש n כך ש-$|\phi (x_{n})|>1$.

הוכחת הלמה:

בהינתן קבוצה $M\subset X$ נגדיר את הקבוצה הפולרית המוחלטת $P(M)=\{\phi \in X^{*}:|\phi (x)|\leq 1\forall x\in M\}$. כיוון ש-A סגורה בנורמה, יש $\rho >0$ כך שלכל x ב-A, $||x||\geq \rho$. על ידי ניפוח ניתן להניח ש-$\rho >1$ ולכן $A_{1}=\emptyset$. נקבע $F_{0}=\{0\}$ ונגדיר ברקורסיה סדרה של קבוצות סופיות לא ריקות $F_{n}\subset X$ המקיימות לכל $n\geq 1$:

א. $F_{n}\subset B_{1/n}$.

ב. $A_{n}\cap (\cap _{i=0}^{n-1}P(F_{i}))=\emptyset$.

כיוון ש-$A_{1}=\emptyset$, רואים ש-$F_{0}$ מקיימת את הדרוש. נניח שמצאנו $\{F_{i}\}_{i=0}^{N-1}$ נמצא את $F_{N}$. נניח בשלילה שאין כזאת. כיוון שהקבוצות הפולריות המוחלטות סגורות בטופולוגיה החלשה*, נקבל שהקבוצה $K=A_{N+1}\cap (\cap _{i=0}^{N-1}P(F_{i}))\subset B_{N+1}^{*}$ היא קומפקטית בטופולוגיה החלשה* (היא תת-קבוצה סגורה של קבוצה קומפקטית לפי משפט בנך אלאוגלו). מההנחה בשלילה נובע שלכל קבוצה סופית $G\subset B_{1/N}$ מתקיים $K\cap P(G)\not =\emptyset$. מקומפקטיות נקבל ש-$\cap _{G\subset B_{1/N},|G|<\infty }(K\cap P(G))\not =\emptyset$. יהי $\phi$ בחיתוך הנ"ל. אז $\phi \in K$. כמו כן לכל $x\in X,||x||<1/N$ מתקיים ש-$|\phi (x)|\leq 1$. מכך נקבל ש-$||\phi ||\leq N$ ואז $\phi \in K\cap B_{N}^{*}=A_{N}\cap (\cap _{i=0}^{N-1}P(F_{i}))$ בסתירה להנחה שבחרנו על $\{F_{i}\}_{i=0}^{N-1}$. לכן אפשר להמשיך את הבנייה.

כיוון ש-$\{F_{i}\}_{i=0}^{\infty }$ סופיות אז $\cup _{i=0}^{\infty }F_{i}$ בן מנייה ויהי $\{x_{n}\}$ מנייה של הקבוצה. מתנאי א נקבל בבירור שנקבל את (1). כעת יהי $\phi \in A$. נקבע $N$ כך $||\phi ||\leq N+1$. מתנאי ב נקבל שיש $j\leq N$ כך ש-$\phi \not \in P(F_{j})$ ולכן יש $x_{n}\in F_{j}$ כך ש-$|\phi (x_{n})|>1$ וקיבלנו את (2).

הוכחת המשפט: נקבע סדרה $x_{n}\in X$ כמו בלמה. מ-(1) יש $r>0$ כך שמתקיים $||x_{n}||\leq r$. נתבונן באופרטור $T:X^{*}\to \mathbb {K} ^{\mathbb {N} },T(\phi )=\{\phi (x_{n})\}_{n=1}^{\infty }$. ברור ש-T ליניארי ומ-(1) נקבל כי $Range(T)\subset c_{0}$. כמו כן ברור ש-T רציף כיוון ש-$||T(\phi )_{n}||=||\phi (x_{n})||\leq ||\phi ||||x_{n}||\leq ||\phi ||r$. מקמירות A נקבל ש-$T(A)$ קמורה. תהי $B=\{b\in c_{0}:||b||_{\infty }<1\}$. אז B סגורה ומ-(2) נקבל ש-$T(A)\cap B=\emptyset$. ממשפט האן בנך נקבל שיש פונקציונל $\eta \in (c_{0})^{*}$ וכן $\alpha \in \mathbb {R}$ כך ש-$\Re (\eta (a))\geq \alpha >\Re (\eta (b)),\forall a\in T(A),b\in B$. אם נציב b=0 נקבל ש-$\alpha >0$. כיוון ש-$(c_{0})^{*}\cong l_{1}$ נקבל שיש סדרה $t=(t_{n})\in l_{1}$ כך ש-$\eta (y)=\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}y_{i}$. מתקיים $||t_{n}x_{n}||=|t_{n}|||x_{n}||\leq |t_{n}|r\Rightarrow \sum _{i=1}^{\infty }||t_{n}x_{n}||\leq r\sum _{i=1}^{\infty }|t_{n}|<\infty$ וכיוון ש-X מרחב בנך מקבלים שיש $x=\sum _{i=1}^{\infty }t_{n}x_{n}$. לכל $\phi \in X^{*}$ מתקיים: $\eta (T(\phi ))=\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}T(\phi )_{n}=\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}\phi (x_{n})=\phi (x)$. לכן נקבל עבור $\phi \in A$ש $\Re (\phi (x))\geq \alpha$. לכן אם נבחר את הסביבה $V=\{\phi \in X^{*}|\Re (\phi )<\alpha \}$ אז היא תהייה הסביבה המבוקשת.

שימושים

מסקנה שימושית מהמשפט הוא שתת-מרחב סגור בטופולוגיה החלשה* אם ורק אם כדור היחידה שלו סגור במרחב בטופולוגיה החלשה*.

מסקנה נוספת היא שהקמור הסגור של קבוצה קומפקטית בטופולוגיה החלשה* הוא קומפקטי בטופולוגיה החלשה*.

ראו גם

משפט בנך אלאוגלו

טופולוגיה חלשה

לקריאה נוספת

• בונסל פ., הרצאות על כמה משפטי נ"ש של אנליזה פונקציונלית, מכון טטה, 1962.

• Diestel, Joseph (1984), Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90859-5.
• Dunford, N.; Schwartz, J.T. (1958), Linear operators, Part I, Wiley-Interscience.
• Whitley, R.J. (1967), "An elementary proof of the Eberlein-Smulian theorem", Mathematische Annalen, 172 (2): 116–118, doi:10.1007/BF01350091.

קישורים חיצוניים

• הוכחת המשפט
• הרחבות של המשפט