משתמש:2Exciton/קדם פוטנציאל

הקדם-פוטנציאל (Pre-Potential) הינה פונקציה סקאלרית מרוכבת אשר מתארת באופן יחסותי, שדה המתפשט במרחב, במהירות האור ממקורו. כאשר הקשר בן השדה לבין הקדם-פוטנציאל ניתן במונחים של נגזרת שנייה.

היסטוריה

שורשי הקדם פוטנציאל נעוצים בעבודתו של אדמונד טיילור וויטקר אשר ב1904 הציג שתי פונ' סקלריות שמהן ניתן לקבל את השדה האלקטרו-מגנטי באמצעות נגזרת שנייה, ועל-ידי כך הראה שאפשר להוריד את מספר דרגות החופש של שדה אלקטרו-מגנטי לשתיים. לאחר מכן ארולד סטנלי רוז שיפר את תוצאותיו של וויטקר.

ב2009 יעקב פרידמן ושלמה גוורצמן הראו שניתן להשתמש בשני הפונ' של וויטקר בתור החלק הממשי והחלק המדומה של פונקצייה מרוכבת במרחב מינקובסקי, וקראו לה קדם-פוטנציאל של השדה האלקטרו-מגנטי. יתר על כן במאמרים נוספים פרידמן הראה שהקדם-פוטנציאל אינווריאנטי תחת הצגת ספין חצי של חבורת לורנץ . על כן, הקדם-פוטנציאל מספק תיאור קו-ווריאנטי של השדה האלקטרו-מגנטי עם מספר מינימאלי של דרגות חופש.

הגדרה

יהי $M$ מרחב מינקובסקי 4-מימדי בעל קוארדינטות $x=x^{\mu }$ כאשר $\mu =0,1,2,3$.

כאשר המכפלה הפנימית של מרחב מינקובסקי הינה:

$x\cdot y=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }y^{\nu }:\eta =diag(1,-1,-1,-1)$

כאשר $x,y\in M$

הכתיב של האינדקסים בנוסחא הוא לפי הסכם הסכימה של איינשטיין.

נניח שדה הנוצר על ידי מקור יחיד בעל עוצמה $k$ אשר קו העולם שלו מסומן כך: ${\check {x}}(\tau )={\check {x}}^{\mu }(\tau )$ עם פרמטריזציה לפי הזמן העצמי $\tau$. על מנת להגדיר את הקדם-פוטנציאל בנקודה $x=x^{\mu }$ במרחב זמן, נגדיר את הנקודה ${\check {x}}(\tau (x))$ להיות הנקודה המיוחדת של החיתוך בין קונוס האור של העבר עם קו העולם של המקור. הזמן $\tau (x)$ על קו העולם של המקור התואם לנקודת החיתוך, נקבע באופן מיוחד על ידי $x$ להיות מה שנקרא זמן ההשהיה.

כלומר, כיוון שרק אירועים שנמצאים בתוך קונוס האור של העבר עשויים להשפיע על הצופה. וכיוון שהשדה מתפשט במהירות האור, לכן על מנת שהשדה ישפיע על הצופה בזמן כלשהו עליו להיות בקונוס האור של העבר. כלומר, רק שדה שנוצר בנקודה ${\check {x}}(\tau (x))$ ישפיע על הצופה.

השדה בנקודה $x$ הוא פרופורציונאלי לעוצמת המקור ותלוי במיקום היחסי של הצופה והמקור בזמן ההשהיה $\tau (x)$ מיוצג על ידי:

$r(x)=x-{\check {x}}(\tau (x))$

אנחנו מקבלים שהוקטור $r(x)$ הוא אינטרוול דמוי אור.

נעבור להציג את הקואורדינטות בהצגה בי-פולרית של מרחב מינקובסקי כל וקטור דמוי אור ניתן להציג בצורה הבאה באופן חד-משמעי:

$r=\rho (\cosh \theta ,\cos \varphi ,\sin \varphi ,\sinh \theta )$

עבור כל $x\in M$ אשר לא נמצא על קו העולם של המקור, הקדם-פוטנציאל של השדה הנוצר על ידי מקור יחיד בעל עוצמה קבועה $k$ מוגדר על-ידי:

$\psi (x)=k(\theta -i\varphi )$

ניתן לראות שההגדרה שקיבלנו עבור הקדם-פוטנציאל דורשת רק שני משתנים, שהם הזוויות, מה שהכי נגיש למדידה בבעיה מרחבית (ביחס למדידה של מרחקים).

כיוון שהזווית $\varphi$ מוגדרת בתחום $0\leq \varphi \leq 2\pi$ אנחנו מקבלים שהקדם-פוטנציאל אינו רציף.

על מנת להימנע מהאי-רציפות ניתן להגדיר קדם-פוטנציאל רציף בצורה הבאה:

${\tilde {\psi }}(x)=ke^{\theta -i\varphi }$

ניתן להראות שהקדם-פוטנציאל אינווריאנטי ביחס להצגת ספין חצי של חבורת לורנץ, במרחב מיקובסקי מרוכב.

ניתן להגדיר פעולת הצמדה (העתקה ערכית שבמרחב שהריבוע שלה הוא זהות) שגם כן אינווריאנטית ביחס לאותה הצגה של חבורת לורנץ:

$\sharp x=\sharp (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{3},ix_{2},-ix_{1},x_{0})$

תוצאות עבור השדה האלקטרו-מגנטי

נגדיר את הפונקציה הקו-וקטורית הבאה:

${\mathcal {A}}\equiv \sharp \nabla \psi$

ניתן להראות שאם ניקח את החלק הממשי של הפונ' שהגדרנו נקבל את ה-4 פוטנציאל האלקטרו-מגנטי שנוצר על ידי מטען בתנועה (הנקרא פוטנציאל ליאונרד-וויצ'רט ).

$A\equiv Re({\mathcal {A}})$

וידוע הקשר בין ה-4 פוטנציאל ולבין טנזור השדה האלקטרו מגנטי:

$F_{\mu \nu }={\frac {\partial }{\partial \mu }}A_{\nu }-{\frac {\partial }{\partial \nu }}A_{\mu }$

בנוסף, משוואת מקסוול בריק עבור הקדם-פוטנציאל מתקבלת להיות:

$\sharp \nabla (\square \psi (x))={\mathcal {J}}$

כאשר החלק הממשי של ${\mathcal {J}}$ הינו ה-4 וקטור של צפיפות הזרם והפעולה $\square$ הינה ה-ד'לאמברטיאן.

קיבלנו משוואה דיפרנציאלית חלקית מסדר 3.

קישורים חיצוניים

יעקב פרידמן, "The Pre-Potential of a Field Propagating with the Speed of Light and Its Dual Symmetry", Symmetry, Vol. 11, 2019