משתמש:Aizenr/ניסוי חומר רקע

מערכות צירים וקואורדינטות

מערכות צירים נפוצות

קואורדינטות קרטזיות קואורדינטות קוטביות קואורדינטות גליליות קואורדינטות כדוריות קואורדינטות גליליות פרבוליות

ראו גם

קואורדינטות קואורדינטות גאוגרפיות קואורדינטות (אלגברה) חשבון טנזורים אנליזה וקטורית

ערך זה דורש ידע מוקדם. אם אתם מתקשים להבין את הערך מומלץ לעיין ב: חדו"א וקטור וקטור אוקלידי סימון מתמטי

אָנָלִיזָה וֶקְטוֹרִית היא תחום של המתמטיקה העוסק באנליזה של פונקציות המוגדרות מעל מרחב וקטורי. בדרך כלל, מתמקדת האנליזה הווקטורית ב-$\mathbb {R} ^{3}$, הוא המרחב האוקלידי התלת-ממדי, שמתאים לתיאור המציאות הפיזיקלית שלנו ולכן שימושי ביותר בפיזיקה. האנליזה הווקטורית פותחה על ידי ג'וסיה וילארד גיבס ואוליבר הביסייד בסוף המאה ה-19.

פעולות בין וקטורים

כדי להבין את מושגי היסוד באנליזה וקטורית, יש להכיר את הווקטורים ואת הפעולות האפשריות בין הווקטורים עצמם ובין סקלרים. פעולות אלה הן הכללה של פעולות החיבור והכפל המוגדרות על איברי שדה.

בפרט, יש להכיר את הנושאים מאלגברה ליניארית של מרחב וקטורי ומרחב מכפלה פנימית. המרחב האוקלידי $\mathbb {R} ^{n}$ (ובפרט $\mathbb {R} ^{3}$) הוא מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית שמוגדר מעל שדה המספרים הממשיים.

וקטורים

וקטור במרחב וקטורי מממד סופי אפשר לכתוב בצורה $\ {\vec {v}}=(v_{1},\dots ,v_{n})$, כאשר המספרים $\ v_{1},\dots ,v_{n}$ הם הרכיבים או הקואורדינטות של $\ {\vec {v}}$.

במרחב התלת-ממדי הווקטורים $\ {\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}$ מייצגים את וקטורי הבסיס הסטנדרטי, המתאימים למערכת הצירים הקרטזית. בכתיבה לפי רכיבים, הם שווים לווקטורים $\ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ בהתאמה.

למבוא יותר אינטואיטיבי על וקטורים במרחב התלת-ממדי, ראו וקטור (פיזיקה).

חיבור

חיבור וקטורים: מחברים וקטורים לפי רכיבים: $\ (v_{1},\dots ,v_{n})+(w_{1},\dots ,w_{n})=(v_{1}+w_{1},\dots ,v_{n}+w_{n})$.

כפל

בניגוד לחיבור, יש מספר סוגים של פעולות כפל המערבים וקטורים:

1. כפל בסקלר: אם $\ c\in \mathbb {R}$ הוא מספר ממשי ו- $\ {\vec {v}}$ וקטור, אז $\ c{\vec {v}}=(cv_{1},\dots ,cv_{n})$ הוא הכפל של $\ v$ בסקלר $\ c$.
2. מכפלה סקלרית (Dot product): המכפלה הסקלרית של שני וקטורים היא מספר, המוגדר לפי $\ (v_{1},\dots ,v_{n})\cdot (w_{1},\dots ,w_{n})=v_{1}w_{1}+\dots +v_{n}w_{n}$. מספר זה הוא מכפלת האורך של הווקטור הראשון, האורך של הווקטור השני וקוסינוס הזווית שביניהם. כלומר: ${\vec {v}}\cdot {\vec {w}}=|{\vec {v}}||{\vec {w}}|\cos \theta$. המכפלה הסקלרית מתאפסת אם ורק אם הווקטורים ניצבים.
3. מכפלה וקטורית (Cross product): במרחב התלת-ממדי $\ \mathbb {R} ^{3}$ מוגדרת פעולה נוספת, הקרויה מכפלה וקטורית. המכפלה הווקטורית של שני וקטורים $\ {\vec {v}},{\vec {w}}$ היא וקטור המאונך לשניהם, שאורכו הוא כשטח המקבילית הנוצרת ביניהם, כלומר אורך הווקטור הראשון כפול אורך השני כפול סינוס הזווית שביניהם.

את כללי החישוב של המכפלה הווקטורית קל לזכור באמצעות סימון הדטרמיננטה:

$(v_{1},v_{2},v_{3})\times (w_{1},w_{2},w_{3})={\begin{vmatrix}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\\\end{vmatrix}}$.

כאשר ${\hat {x}}\,{\hat {y}}\,{\hat {z}}$ הן וקטורי היחידה של הצירים X ,Y ,Z בהתאמה.

בעוד ששתי הפעולות הראשונות מוגדרות בכל ממד, ובפרט בממד-1 מתכנסות לכפל הרגיל, המכפלה הווקטורית מוגדרת רק במרחב האוקלידי מממד 3.