נגזרת כיוונית

במתמטיקה, הנגזרת הכיוונית היא ערך המייצג את קצב השינוי של פונקציה רבת משתנים בכיוון של וקטור נתון. זוהי הכללה של הנגזרת החלקית, שבה כיוון הנגזרת הוא במקביל לאחד מהצירים הראשיים.

הגדרה

עבור מספר טבעי $n\in \mathbb {N}$ , פונקציה סקלרית $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ווקטורים ${\vec {v}}=(v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ ו- ${\vec {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ , מגדירים את הנגזרת הכיוונית של $f$ בכיוון ${\vec {v}}$ בנקודה ${\vec {x}}$ על ידי הגבול:

$D_{\vec {v}}{f}({\vec {x}}):=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f({\vec {x}}+h{\vec {v}})-f({\vec {x}})}{h|{\vec {v}}|}}$

כאשר $|{\vec {v}}|$ היא הנורמה של ${\vec {v}}$ , כלומר $|{\vec {v}}|={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\dots +v_{n}^{2}}}$ .

אם נגזרת כיוונית זו קיימת אומרים כי $f$ גזירה בכיוון ${\vec {v}}$ בנקודה ${\vec {x}}$ .

תתכנה פונקציות אשר עבור נקודה ${\vec {x}}$ כלשהי אינן גזירות לכל כיוון ${\vec {v}}$ . באופן דומה, תתכנה פונקציות אשר עבור כיוון ${\vec {v}}$ כלשהו אינן גזירות בכל נקודה ${\vec {x}}$ .

תכונות

ליניאריות

בהינתן זוג פונקציות $f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ גזירות בכיוון ${\vec {v}}$ בנקודה ${\vec {x}}$ , ובהינתן $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ מתקיים כי:

$D_{\vec {v}}(\alpha f+\beta g)({\vec {x}})=\alpha D_{\vec {v}}f({\vec {x}})+\beta D_{\vec {v}}g({\vec {x}})$

כלומר, פעולת הנגזרת הכיוונית היא ליניארית.

כלל לייבניץ

בהינתן זוג פונקציות $f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ גזירות בכיוון ${\vec {v}}$ בנקודה ${\vec {x}}$ , מתקיים כי:

$D_{\vec {v}}(fg)({\vec {x}})=g({\vec {x}})D_{\vec {v}}f({\vec {x}})+f({\vec {x}})D_{\vec {v}}g({\vec {x}})$

כלומר, הנגזרת הכיוונית מקיימת את כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה.

כלל השרשרת

בהינתן הפונקציה הסקלרית $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ופונקציה ממשית $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , כאשר $f$ גזירה בכיוון ${\vec {v}}$ בנקודה ${\vec {x}}$ וכן $g$ גזירה בנקודה $f({\vec {x}})$ , מתקיים כי: