סגיטה

סַגִיטָה הוא מונח בגאומטריה (לפעמים מכונה בקיצור סַג). בלטינית משמעות המילה סגיטה היא "חץ" (סגיטה הוא גם שמה הלועזי של קבוצת הכוכבים - חץ). משמעות המושג בגאומטריה הוא:

• אורך קטע מאמצע מיתר של מעגל האנכי למיתר, עד לקשת של המיתר.
• אורך קטע מאמצע מיתר של מעגל לאמצע הקשת של המיתר.
• במעגל אורך הסגיטה s שווה לרדיוס המעגל r פחות האפותם A ממרכז המעגל למיתר: $s=r-A$ (ראו איור).
• במצולע משוכלל אורך הסגיטה s שווה לרדיוס המעגל החוסם את המצולע r פחות האפותם A ממרכז המצולע לצלע של המצולע: $s=r-A$.
• בדרך כלל הסגיטה מתייחסת למרחק מהמיתר לקשת הקטנה יותר הנשענת על המיתר, אבל ניתן גם להגדיר "סגיטה ארוכה" כאורך הקטע מאמצע המיתר לאמצע הקשת הגדולה הנשענת עליו.

s - הסַגִיטָה, r - הרדיוס, l - מחצית המיתר, A - האפותם

חישוב הסגיטה, הרדיוס, ואורך המיתר

באיור למעלה s מציין את אורך הסַגִיטָה, r את הרדיוס, ו $\ell$ את מחצית המיתר עליו נשענת הסגיטה. האפותם A (השווה ל r-s) ו $\ell$ הם ניצבים של משולש ישר-זווית שאורך היתר שלו הוא r. לפי משפט פיתגורס אם כן:

$r^{2}=\ell ^{2}+(r-s)^{2}$

ניתן לסדר נוסחה זו בדרכים שונות כדי לחשב את הסגיטה, הרדיוס או היתר בהינתן שני האחרים:

1. $s=r-{\sqrt {(r^{2}-\ell ^{2})}}$
2. $\ell ={\sqrt {(2rs-s^{2})}}$
3. $r={{s^{2}+\ell ^{2}} \over {2s}}$

ניתן גם לחשב את הסגיטה מהזווית $\alpha$ שבאיור. s שווה כאמור r-A. ו A שווה ${r\ cos(\alpha )}$ ומכאן:

4. $s=r(1-cos\alpha )=2r\ sin^{2}{\alpha  \over 2}$

קירובים כאשר הסגיטה קטנה

מנוסחה 3 למעלה נובע ש ${s(2r-s)=\ell ^{2}}$. כאשר הסגיטה s קטנה בהרבה מהרדיוס r (כלומר כאשר הקשת היא שטוחה, כפי שקורה לעיתים נפוצות באדריכלות) נוסחה זאת הופכת ל ${s(2r)\approx \ell ^{2}}$. ומכאן לקירוב:

5. ${s\approx {\ell ^{2} \over {2r}}}$

שימושים

באדריכלות נפוץ השימוש בסגיטה בחישובים הנוגעים לקשתות כמו בקירות קמורים או קעורים, בקמרונות, בכיפות ובגשרים. במקרים אלה שימושי הקשר בין בסגיטה לרדיוס העקמומיות של הקשת ולאורך המיתר (ראו נוסחאות למעלה) כשלפעמים רצויה סגיטה מסוימת ויש לחשב את הרדיוס והמיתר ולפעמים הרדיוס או המיתר הם הרצויים ויש לחשב את הסגיטה. הסגיטה משמשת גם להשגת עקמומיות רצויה של תיבת תהודה של כלי מיתר. בשימושים אלה לרוב העקמומיות מאוד עדינה ומספיקה נוסחת הקירוב כאשר הסגיטה קטנה בהרבה מהרדיוס (ראו למעלה).

הסגיטה משמשת באופטיקה (ובמיוחד ביצור טלסקופים) בעת חישוב כמות הזכוכית הנדרשת להוצאה כדי להשיג עקמומיות רצויה לעדשה. בפיזיקה הנוסחאות למעלה עוזרות לחשב את רדיוס העקמומיות של חלקיק מואץ בתא בועות (הדרוש לקביעת התנע הזוויתי שלו) מתוך אורכי הסגיטה והמיתר הקלים יותר למדידה.

ראו גם

• אפותם
• מעגל

קישורים חיצוניים

• סגיטה, באתר MathWorld (באנגלית)