ספקטרום פרויקטיבי

בגאומטריה אלגברית ספקטרום פרויקטיבי הוא אנלוג פרויקטיבי של המושג ספקטרום של חוג. ספקטרום פרויקטיבי מתאים לחוג קומוטטיבי מדורג יריעה קוואזי-פרויקטיבית (או סכמה קוואזי-פרויקטיבית) , אם אלגברה נוצרת סופית מעל . למשל, אם הוא חוג הפולינומים, מדורג כך שכל המשתנים בעלי דרגה 1, אז הוא המרחב הפרויקטיבי . בגאומטריה אלגברית קלאסית יריעה פרויקטיבית המוגדרת על-ידי משוואות הומוגניות מתוארת על-ידי חוג מדורג עם הדירוג המושרה מהדירוג הסטנדרטי בחוג הפולינומים. בניית הספקטרום הפרויקטיבי משחזרת (בשפה של סכמות) את היריעה הפרויקטיבית מהחוג המדורג .

כקבוצה

עריכה

יהי   חוג קומוטטיבי מדורג. אידיאל   נקרא הומוגני אם  . אוסף אברי   בעלי דרגה חיובית   הוא אידיאל הומוגני הקרוי לעיתים אידיאל לא רלוונטי (אנ'). איברי   הם האידיאלים הראשוניים המדורגים של   שלא מכילים את  .

טופולוגיית זריצקי על

עריכה

בדומה לטופולוגיה על הספקטרום של חוג קומוטטיבי, ניתן להגדיר על   טופולוגיה על-ידי קביעת קבוצות  , כאשר   אידיאל הומוגני, כקבוצות סגורות. זה מגדיר טופולוגיה על   הנקראת טופולוגיית זריצקי. בסיס של הטופולוגיה ניתן על-ידי הקבוצות הפתוחות   כאשר   איבר הומוגני ב- . נציין כי   הומאומורפי לספקטרום של החוג  , לוקליזציה הומוגנית של   המוגדרת כאוסף שברים   ב-  בעלי דרגה  .

מבנה של סכמה על

עריכה

כדי להגדיר מבנה של מרחב מחויג על  , יש להגדיר עליו את אלומת המבנה  , אלומת הפונקציות הרגולריות. כיוון שהקבוצות הפתוחות   מהוות בסיס של טופולוגיה, מספיק להגדיר את חתכי אלומת המבנה רק על קבוצות אלה, וכן להגדיר את העתקות הצמצום   לכל זוג איברים הומוגניים   בחוג  . הומאומורםיזם בין   לבין הספקטרום של   מאפשר להגדיר   ולקבל את העתקות הצמצום באופן אוטומטי. כיוון שמרחב מחויג   איזומורפי, לפי הבנייה, לסכמה אפינית   ,   הוא סכמה.

מורפיזם סכמות   מתקבל על-ידי הדבקה של המורפיסמים   המוגדרים על-ידי מבנה של  -אלגברה על  . מורפיזם זה פרויקטיבי עם   אלגברה נוצרת סופית מעל  .

דוגמאות

עריכה

המרחב הפרויקטיבי

עריכה

הדוגמה הראשונה של ספקטרום פרויקטיבי היא   כאשר  . הקבוצות הפתוחות   מזוהות עם ספקטרה של חוגי הפולינומים  , כך שבמקרה   הוא שדה סגור אלגברית, הנקודות הסגורות של   מזוהות עם המרחב הפרויקטיבי הקלאסי  . באופן כללי, הספקטרום הפרויקטיבי של   כאשר   חוג קומוטטיבי כלשהו והמשתנים   בעלי דרגה  , נקרא המרחב הפרויקטיבי מעל   המסומן  .

יהי   שדה סגור אלגברית,   אלגברה מדורגת הנוצרת על-ידי איברים הומוגניים בעלי דרגה  . זה גורר כי   ניתן להציג כמנה של החוג המדורג   מודולו אידיאל הומוגני  . זה מאפשר להציג   כתת-סכמה סגורה של  . הנקודות הסגורות של   הן נקודות   של   המקיימות משוואות של  .

תהי   סכמה אפינית ותהי   תת-סכמה סגורה הניתנת על-ידי אידיאל  . ניפוח של   ב-   אפשר לתאר כספקטרום פרויקטיבי של החוג המדורג

 

לקריאה נוספת

עריכה