קווריאנטיות להעתקות אפיניות חיוביות

קווריאנטיות להעתקות אפיניות חיוביות היא תכונה מתמטית המתארת מושגי פתרון של משחקים בצורה קואליציונית ומשחקים בצורה אסטרטגית. התכונה אומרת שאם משחק אחד מתקבל ממשחק אחר על ידי הפעלת העתקה אפינית חיובית, אז הפתרון של המשחק הראשון שווה לפתרון המשחק השני לאחר הפעלת אותה העתקה אפינית. קווריאנטיות להעתקות אפיניות חיוביות מתקיימת עבור הפתרונות של הליבה, ערך שפלי, קבוצות מיקוח, הגרעינון והגרעין במשחקים השיתופיים, ועבור שיווי משקל נאש ושיווי משקל מתואם במשחקים הלא שיתופיים.

הגדרה פורמלית

העתקה אפינית חיובית

העתקה אפינית חיובית של פונקציה כלשהי $p:X\rightarrow \mathbb {R}$ היא הפונקציה $g:X\rightarrow \mathbb {R}$ המקיימת $g(x)=\alpha p(x)+\beta ,\forall ~x\in X$ עבור מספר $\alpha >0$ ומספר ממשי $\beta$.

קווריאנטיות להעתקות אפיניות חיוביות (משחק מיקוח)

פתרון $f$ למשחקי מיקוח מקיים את הקווריאנטיות להעתקות אפיניות: אם לכל משחק מיקוח $(S,d)$, לכל וקטור $a\in R^{2}$ כאשר שתי הקואורדינטות של $a$ הן חיוביות, ולכל וקטור $b\in R^{2}$ יתקיים הדבר הבא: $\,f(aS+b,ad+b)=af(S,d)+b$ . באופן זה ניתן לומר כי העיקרון המוצג כאן הוא שילוב עקרונות הקווריאנטיות תחת הזזות והאי-תלות ביחידות המדידה.

במשחק בצורה קואליציונית

עקרון הקווריאנטיות להעתקות אפיניות חיוביות מופיע כעיקרון שקילות אסטרטגית עבור משחקים בצורה קואליציונית עם תשלומי צד.

פתרון $\phi$ למשחק בצורה קואליציונית עם תשלומי צד מקיים שקילות אסטרטגית אם לכל משחק $\left(N;v\right)$, לכל $a\in R_{+}$, לכל וקטור $b\in R^{N}$ ולכל שחקן $i\in N$ מתקיים: $\phi _{i}(N;av+b)=a\phi _{i}(N;v)+b_{i}$

במשחק בצורה אסטרטגית

במשחק בצורה אסטרטגית מושגי הפתרונות של שיווי משקל נאש ושיווי המשקל המתואם מקיימים קווריאנטיות להעתקות אפיניות חיוביות, עבור כל שחקן $i$ במשחק, באופן הדומה לזה שהוצג במשחקי מיקוח ובמשחקים בצורה קואליציונית.

קשר למשפט פון נוימן-מורגנשטרן

משפט פון נוימן-מורגנשטרן קובע באיזה תנאים קיימת לשחקן פונקציית תועלת ליניארית. בנוסף, המשפט קובע כי פונקציית התועלת הליניארית של השחקן נקבעת עד כדי העתקה אפינית חיובית. לכן, כאשר מביעים את תוצאות המשחק ביחידות תועלת, על הפתרון להיות קווריאנטי תחת שקילות אסטרטגית: אם משנים את יחידות התועלת של שחקן על פי העתקה אפינית חיובית, הפתרון אמור להשתנות על פי אותה העתקה אפינית חיובית.

ראו גם

• קווריאנטיות תחת הזזות
• משחק מיקוח
• משפט פון נוימן-מורגנשטרן

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946