פתיחת התפריט הראשי

על פתית השלג המשושה (ליתר דיוק שי לראש השנה או על פתית השלג המשושה - בלטינית Strena Seu De Nive Sexangula) הוא מאמר של יוהאנס קפלר שניתן כשי ראש השנה ב-1611 לידידו ופטרונו ג'ון מתיו ווקאר. במאמר חוקר קפלר את הסיבה לצורתו המשושה של פתית השלג. בדרך הוא מעלה רעיונות רבים והסברים אפשריים שאת כולם הוא דוחה בעצמו כך שהמאמר נותר ללא תשובה. בכל זאת המאמר נחשב כמבשר בגישתו המדעית את מדע הקריסטלוגרפיה והוא מפורסם גם בכך שבו נותן קפלר את ההשערה הידועה כהשערת קפלר לגבי הריצוף הדחוס ביותר של כדורים במרחב (השערה שהוכחה על ידי מחשב רק בשנת 1998).

על פתית השלג המשושה
Strena Seu De Nive Sexangula
דיאגרמה מהספר המדגימה את השערת קפלר
דיאגרמה מהספר המדגימה את השערת קפלר
מידע כללי
מאת יוהאנס קפלר
שפת המקור לטינית
סוגה מתמטיקה
הוצאה
הוצאה בשפת המקור Godfrey Tampach, Frankfurt
שנת הוצאה 1611
תרגום לעברית לא תורגם
מספר עמודים 24

תוכן עניינים

פתיחה והצגת השאלהעריכה

 
צורות משושות מגוונות של פתיתי שלג

קפלר יודע כמה ידידו חובב את ה"אין" (כלומר את ה-"לא כלום") ובכל מקרה שכרו של קפלר (הוא עבד כמתמטיקאי חצר של הקיסר רודולף השני) לא מאפשר לו להעניק מתנה גדולה יותר ולכן הוא מחפש שי הקרוב ביותר ל"אין"[1]. הוא בודק את ארבעת היסודות (אבק, אש, אוויר, ומים) אך חושב שבכולם יש "משהו". לבסוף בעודו חוצה את גשר קארל בפראג נופל פתית שלג על מעילו והוא נראה לו נושא מתאים לשי לעונת החגים כיוון שירד מהשמיים בצורת כוכב. יש כאן גם משחק מילים כיוון שהמילה Nix משמעה שלג בלטינית (שפת המאמר) ומשמעה גם "לא כלום" בגרמנית עממית של אז. קפלר מציע לברר "למה פתיתי השלג בראשית נפילתם, ולפני שהם מסתבכים זה בזה לגושים, הם תמיד בעלי ששה קודקודים עם ששה מקלות דמויי נוצה".

סקירת רעיונות הקשורים לשאלהעריכה

 
חלת דבש של דבורים - בצורת משושים המרצפים את המישור
 
צורת תא של חלת דבש - משושה בחזית (שמאל) ושלושה מעוינים מאחור (ימין)
 
דודקהדרון-מעוין - פֵּאוֹן המורכב רק ממעוינים

בהמשך המאמר סוקר קפלר הסברים אפשריים לצורת פתית השלג (שאת כולם הוא לבסוף דוחה בעצמו). הסבר אפשרי הוא שניתן לרצף את המישור על ידי משושים. אבל בעצם אפשר גם עם רבועים ומשולשים. כדי להכיר טוב יותר את הבעיה הוא חוקר כמה מקרים של דברים משושים בטבע ומנסה להגיע לסיבת צורתם. הוא בוחן את תאי הדונג בחלת הדבש של הדבורים. הוא שם לב שבעוד שלפתח התא יש צורת משושה הרי שחלקו האחורי נסגר על ידי שלושה מעוינים (כל מעוין נשען על שתים מצלעות המשושה וכולם נפגשים בקודקוד אחד - ראו איור)[2]. קפלר תוהה אם קיים פֵּאוֹן דומה לפאון הארכימדי או לאפלטוני המורכב רק ממעוינים. הוא מצהיר שמצא שניים כאלה, כשאחד מהם, הדודקהדרון-המעוין המוקף ב-12 מעוינים, יכול לרצף את המרחב התלת-ממדי ללא רווחים, כמו שהמשושה יכול לרצף את המרחב הדו-ממדי. הוא העלה כמה סיבות אפשריות לצורת המשושה של תאי הכוורת: המשושה הוא המרווח ביותר בין הפאונים המרצפים את המישור, הוא המותאם ביותר למבנה גופם הרך של הדבורים, וניתן לחסוך בעבודה כשכל קיר משרת שני תאים, במקום למשל תאים עגולים שהיו מותירים רווחים מבוזבזים.

 
גרעינים נדחסים בתוך קליפת הרימון

מכאן קפלר עובר לתהות בסיבה לצורת גרעיני הרימון דמויי ה-דודקהדרון-המעוין הממלאים את חלל הפרי. הגרעינים קטנים בתחילה ועגולים כל עוד יש להם מקום. אבל כשקרום הרימון מתקשה והגרעינים מתמלאים בעסיס הם מסתדרים ומתכווצים זה לצד זה כך שכל גרעין מתיישב בין שלושה גרעינים של השכבה הבאה. קפלר טוען שאם יושמו כדורים רכים באופן חופשי בתוך כלי שאחר כך יכווץ מכל עבריו אזי הכדורים יקבלו את צורת הדודקהדרון-המעוין. אם לעומת זאת הם יסודרו בזוויות ישרות וזה מעל זה אזי הלחץ יגרום להם לקבל צורת קוביות.

השערת קפלרעריכה

 
שני סדורים עם צפיפות מקסימלית. מימין השכבה העליונה (השלישית) בדיוק מעל לתחתונה. משמאל השכבה העליונה (הירוקה) מעל המרווחים שבתחתונה.

אם מפזרים כדורים במישור ולוחצים עליהם כדי לקרבם זה לזה הם יסתדרו באחת משתי צורות - ראו סידורים A ו B בדיאגרמה שבמסגרת בראש ערך זה. בסידור A לכל כדור ארבעה שכנים ובסידור B לכל כדור שישה שכנים. אם נשים שכבה מסוג A ישירות על שכבה מסוג A (או B מעל B) ונלחץ - יתקבלו קוביות. אם לעומת זאת נמקם כל כדור בשכבה B העליונה בין שלושה כדורים בשכבה B התחתונה יתקבל סידור בעל צפיפות גבוהה יותר (כלומר יותר כדורים לנפח כולל נתון). בסידור זה לכל כדור שישה שכנים בשכבה שלו ועוד שלושה מלמעלה ושלושה מלמטה. במקרה זה לחץ על הכדורים יוביל לדודקהדרונים-המעוינים. קפלר טוען שאין סידור אחר של כדורים (לא לחוצים) שיתן צפיפות גבוהה יותר. קפלר לא הוכיח את הטענה הנקראת "השערת קפלר". ניתן להראות שלמעשה ישנם סידורים רבים המביאים לאותה צפיפות מקסימלית. מעל שתי שכבות B שתוארו ניתן להוסיף שכבה B שלישית בדיוק מעל השכבה B התחתונה, או בהזזה כך שכל כדור נמצא מעל מרווח בשכבה התחתונה. ראו איור. כיוון שבכל שכבה הנוספת מלמעלה יש שתי אפשרויות כאלה יוצא שיש אינסוף סידורים צפופים אפשריים של המרחב. בכל מקרה הצפיפות המתקבלת היא של

 

בהשוואה לצפיפות של כ-0.65[דרוש מקור] המתקבלת כשמכניסים כדורים באופן אקראי לתחום מוגבל.

הרקע להשערה והוכחתהעריכה

את בעיית דחיסת הכדורים קיבל קפלר במהלך התכתבות שערך ב-1606 עם המתמטיקאי האנגלי תומאס הריוט[3], שבתורו עסק בשאלה שהציג לו וולטר ראלי בהקשר של מציאת הדרך היעילה ביותר לסדר כדורי תותח על סיפון הספינה. אחרי פרסום ההשערה על ידי קפלר ניסו רבים להוכיחה. בשנת 1831 הוכיח קרל פרידריך גאוס[4] את ההשערה למקרים בהם הכדורים מסודרים בסריג סדור. אחרי גאוס לא הייתה עוד התקדמות במאה ה-19 וב-1900 דויד הילברט כלל את ההשערה כאחת מ-23 הבעיות הפתוחות במתמטיקה. בשנת 1953 הראה המתמטיקאי ההונגרי László Fejes Tóth שניתן להכריע את השאלה בעזרת מספר גדול אך סופי של חישובים. בשנת 1992 פתח תומאס קליסטר האלס (מאוניברסיטת מישיגן באותם ימים) בתוכנית מחקר שבה הראה בעזרת מחשב שכ-5000 סידורים מייצגים הם בעלי צפיפות שאינה גבוהה מהגבול של קפלר. ב-1998 הסתיימו החישובים, והוכחה הארוכה התקבלה על ידי ועדת מומחים ב"99%" ודאות. בשנת 2015 האלס שיפר את הפתרון כשפרסם הוכחה פורמלית שיכלה הפעם בעצמה לעבור בדיקת נכונות על ידי מחשב ובכך להסיר כל ספק בנכונותה[5].

סיום המאמרעריכה

קפלר ממשיך לסקור צורות נוספות בטבע כמו החלוקה המחומשת של הפרחים, הפירות, וגם תאי הזרעים בכמה צמחים. כאן הוא חושב שה"מניע נותן הצורה" (facultas formatrix) קשור איכשהו באסתטיקה. המחומש עצמו ניתן לבנייה בעזרת יחס הזהב הקשור גם הוא באסתטיקה ובצמחים. אך מה המניע לגבי פתית השלג המשושה? השלג נוצר מאדים המתקררים לפתיתים (בניגוד לקרח הנוצר ממים שקפאו). מדוע אבל פתיתי השלג הם שטוחים ולא בעלי נפח ככדורים? אולי כיוון שהמשושה הוא מישורי במהותו כיוון שהוא המצולע המשוכלל הראשון שאינו מרכיב לבדו פאונים תלת ממדיים? או מפני שהמאבק בין קור לחום מתרחש קודם כל במשטחים? בכל אופן כדי לכסות את המישור במשושים יש צורך שיהיו באותו גודל, והרי פתיתי השלג הם בגדלים שונים. מכאן שהם נוצרים לא בבת אחת אלא כהרכבה והרחבה של יחידות קטנות יותר. לסיום, לגבישים במכרות יש צורות שונות ולא רק משושות, מכאן שהמשושה לא הכרחי אלא מאפיין את החומר. אולי יש במים מעין מלח המתגבש במשושים? בנקודה זאת קפלר סוגר את הדיון ומעביר את השאלה אל הכימאים, ואל ידידו ווקאר.

ההסבר המודרני לצורה המשושה של פתיתי השלגעריכה

 
גבישי שלג במיקרוסקופ סריקה אלקטרוני (הצבעים מלאכותיים)

קפלר כאמור לא הגיע לפתרון מספק לשאלה שהגדיר. אף על פי שהבין שצורת הגביש נובעת מהרכבה והרחבה של צורות בסיסיות דומות, הוא לא תמך בתורה האטומית של החומר, ולמשל בפתיחת המאמר כשחיפש נושא "קרוב לאין" הוא פסל את האטום כיוון שהוא שווה ממש לאין ולא סתם קרוב אליו. בכל זאת, ההסבר המקובל כיום לצורת הגבישים, ופתיתי השלג ביניהם, הוא במבנה האטומי של המולקולות המרכיבות את הגביש. בקריסטלוגרפיה המערכת הגבישית ההקסגונלית (מיוונית הקסגון – משושה) או גם המערכת הגבישית המשושה היא אחת משבע המערכות הגבישיות. במקרה של מים H2O שני אטומי המימן יוצרים זווית של כ-104.45° סביב גרעין החמצן. מולקולת מים היא קוטבית עם קטבים חיוביים באטומי המימן ושליליים בחמצן כך שמימן של מולקולת מים אחת נמשך לחמצן של מולקולה שכנה (קשר מימן). סידור יציב מתקבל כששישיית מולקולות נקשרות בקשרי מימן זו לזו במעגל (כלומר במשושה) כמו גם למולקולות מים שכנות[6]. פתית השלג נוצר מהצטברות של עוד ועוד מולקולות מים סביב הגרעין המשושה המקורי. ההסתברות של מולקולות להצטבר בפינות גדולה מאשר בשאר האזורים[7]. הצורה שבה המולקולות הנוספות מצטברות תלויה בתנאי מזג אוויר מקומיים. למשל, ב.ג. מייסון[6] מראה אילו סוגי משושים מתקבלים בכל תחום טמפרטורות. תנאי מזג האוויר זהים בכל פינות הגביש ולכן צורתן זהה. הפתיתים אבל שונים זה מזה ועדיין אין הסבר מלא לצורתם.

קישורים חיצונייםעריכה

  • Hales, Thomas C. (2006), "Historical overview of the Kepler conjecture", Discrete & Computational Geometry 36 (1): 5–20, ISSN 0179-5376, MR 2229657, doi:10.1007/s00454-005-1210-2 
  • Hales, Thomas C.; Ferguson, Samuel P. (2011), The Kepler Conjecture: The Hales-Ferguson Proof, New York: Springer, ISBN 978-1-4614-1128-4 
  • Fejes Tóth, L. (1953), Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und im Raum, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, Band LXV, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0057566 

הערות שולייםעריכה

  1. ^ על פתית השלג המשושה מקור מלטינית עם תרגום באנגלית והערות, באתר https://larouchepac.com/
  2. ^ על פתית השלג המשושה באתר http://www.keplersdiscovery.com
  3. ^ In retrospect: On the Six-Cornered Snowflake באתר כתב העת nature
  4. ^ Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären quadratischen Formen von Ludwig August Seber, Carl Friedrich Gauss 1831 [1]
  5. ^ Hales, Thomas; Adams, Mark; Bauer, Gertrud; Dang, Tat Dat; Harrison, John; Hoang, Le Truong; Kaliszyk, Cezary; Magron, Victor; McLaughlin, Sean; Nguyen, Tat Thang; Nguyen, Quang Truong; Nipkow, Tobias; Obua, Steven; Pleso, Joseph; Rute, Jason; Solovyev, Alexey; Ta, Thi Hoai An; Tran, Nam Trung; Trieu, Thi Diep; Urban, Josef; Vu, Ky; Zumkeller, Roland (29 במאי 2017). "A Formal Proof of the Kepler Conjecture". Forum of Mathematics, Pi 5: e2. doi:10.1017/fmp.2017.1. בדיקה אחרונה ב-16 ביוני 2017. 
  6. ^ 6.0 6.1 על פתית השלג המשושה מקור מלטינית עם תרגום באנגלית והערות, באתר https://larouchepac.com/, גבישי השלג, ב.ג.מייסון, עמוד 55-54
  7. ^ Kepler Attempted To Develop A Science Of Snowflakes באתר forbes