מעגל היחידה

מעגל שרדיוסו יחידת אורך אחת

במתמטיקה, מעגל היחידה הוא מעגל בעל רדיוס שאורכו יחידת מידה אחת, ומרכזו בראשית הצירים של מערכת צירים קרטזית. למעגל היחידה מספר שימושים בטריגונומטריה – באמצעותו ניתן להרחיב את הגדרתן של הפונקציות הטריגונומטריות, ולהגדיר יחידת מידה טבעית לזווית – הרדיאן. מעגל היחידה מסומן לעיתים קרובות .

מעגלי יחידה של e^jt, cos(t),sin(t) ו tg(t)

העיגול ברדיוס 1 סביב הראשית, שמעגל היחידה הוא שפתו, נקרא עיגול היחידה.

הגדרת הפונקציות הטריגונומטריותעריכה

בהינתן זווית כלשהי, מגדירים אותה כרדיוס ש"מסתובב" נגד כיוון השעון ויוצר את הזווית הזאת עם הכיוון החיובי של ציר ה-x. אם הזווית שלילית, הסיבוב הוא עם כיוון השעון. אם הזווית גדולה מ-  (או   רדיאנים), זה יותר מסיבוב אחד ועל כן הזווית עם ציר ה-x היא השארית של חלוקת הזווית ב- .

אם הזווית היא   ו-  היא הנקודה בה נוגע הרדיוס במעגל, אז נגדיר:

 
 

במישור המרוכבעריכה

במישור המרוכב מעגל היחידה מורכב מכל המספרים המרוכבים שערכם המוחלט הוא 1 (ובכללם כל שורשי היחידה). לפי נוסחת אוילר כל מספר על מעגל היחידה ניתן להצגה כ-  כאשר   היא הזווית (ברדיאנים) בין הציר הממשי למספר. איברי מעגל היחידה מהווים חבורה ביחס לכפל מספרים מרוכבים. זוהי חבורה חשובה ושימושית במתמטיקה והיא נקראת חבורת המעגל. מנוסחת אוילר נובע שהיא איזומורפית לחבורת המנה   (כחבורות ביחס לחיבור).

שימוש במעגל היחידה המרוכבעריכה

כאשר מעבירים סדרה עתית למרחב הפאזה נהוג להשתמש במערכת קאורדינטות של המישור המרוכב. תחת מעבר זה הפאזה של סדרה עתית משמשת על מנת להגדיר משתנה מרוכב שהארגומנט שלו הוא הפאזה של הסדרה העתית וגודלו הוא אחד. העתקה זו מעתיקה כל מקטע של סדרה עתית אל עבר רדיוס של מעגל היחידה המרוכב. המעבר אל מרחב הפאזה מאפשר הפעלה של שיטות לחקר קישוריות בין סדרות כמו phase lag index או (Inter-site phase clustering (ISPC. חקר הקישוריות חשוב במיוחד בחקר קישוריות מוחית כיוון שהמידע שנמדד מהמוח האנושי הוא לרוב סדרה עתית. וככזה מציאת הקישוריות בין סדרות עתיות שקול למציאת קישוריות בין אזורים אלקטרודות או תדרים מוחיים כתלות במידע הנמדד.

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה