פונקציית רימן

פונקציית רימן (על שם המתמטיקאי הגרמני ברנהרד רימן) או פונקציית הסרגל היא פונקציה ממשית שקבוצת נקודות האי-רציפות שלה כוללת בדיוק את המספרים הרציונליים. הפונקציה מוגדרת בנקודות הרציונליות לפי $f\left({\frac {p}{q}}\right)={\frac {1}{q}}$ (כאשר השבר מצומצם, כלומר $p,q$ זרים זה לזה), ומתאפסת בנקודות שאינן רציונליות. (ב-$x=0$ ערך הפונקציה הוא $1$, כמו בכל מספר שלם).

פונקציית רימן בקטע $(0,1)$

הפונקציה מוכרת גם בשמות "פונקציית הסרגל", "פונקציית הפופקורן" ופונקציית תומה (Thomae's function; על שם המתמטיקאי הגרמני קארל יוהנס תומה).

נקודות האי-רציפות של הפונקציה

הפונקציה רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית. מכאן שקבוצת נקודות האי-רציפות של הפונקציה היא צפופה, אך בעלת מידה אפס.

הפונקציה אינטגרבילית לפי רימן (עם אינטגרל אפס) בכל קטע חסום, אך אינה רציפה ואינה מונוטונית באף קטע.

פונקציה נוספת עם אותן נקודות אי-רציפות

נסדר את המספרים הרציונליים על הישר בסדרה $\{r_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, ונגדיר $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ לפי $g(x)=\sum _{\{n:r_{n}<x\}}{\frac {1}{2^{n}}}$. כמו פונקציית רימן, הפונקציה המתקבלת רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה בכל נקודה רציונלית. בנוסף, זוהי פונקציית מונוטונית עולה על הישר.

קבוצת נקודות האי-רציפות של פונקציה

קבוצת נקודות אי-הרציפות של פונקציה ממשית היא קבוצת $F_{\sigma }$ (איחוד בן מנייה של קבוצות סגורות). מכיוון שקבוצת המספרים האי-רציונליים אינה כזאת, אין פונקציה שנקודות האי-רציפות שלה הן הנקודות האי-רציונליות.

הוכחה

נוכיח שנקודות האי-רציפות של הפונקציה הן כאמור לעיל. יהי $x$ מספר רציונלי, אזי $f(x)\neq 0$, אבל יש סדרה של מספרים אי-רציונליים המתכנסת ל-$x$, ועליהם הפונקציה מתאפסת לפי ההגדרה. מכאן $x$ היא נקודת אי-רציפות. כעת נניח כי $x$ אי-רציונלי, ויהי $\varepsilon >0$. בקטע באורך יחידה סביב $x$ יש רק מספר סופי של נקודות שבהן $f(t)\geq \varepsilon$ (משום שתנאי זה חוסם את המכנה), ולכן יש קטע סביב $x$ שבו $|f(t)-f(x)|=f(t)<\varepsilon$ ומכאן $f$ רציפה בנקודה $x$.

ראו גם

• פונקציית דיריכלה
• פונקציית ויירשטראס

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית רימן בוויקישיתוף

• פונקציית רימן (גם Thomae's function ו-Dirichlet Function), באתר MathWorld (באנגלית)