פונקציית ויירשטראס

פונקציית ויירשטראס היא הדוגמה הראשונה שפורסמה לפונקציה רציפה בכל נקודה על הישר הממשי אך לא גזירה באף נקודה.

לפי משפט הקטגוריה של בייר, אוסף הפונקציות הרציפות הגזירות בנקודה אחת לפחות הוא קבוצה מקטגוריה ראשונה. בצורה פשטנית אומר המשפט כי "רוב" הפונקציות הרציפות אינן גזירות באף נקודה, אולם המשפט אינו מצביע על פונקציה מסוימת כזו. הדוגמה הראשונה שפורסמה לפונקציה כזו היא זו שנתן קארל ויירשטראס בשנת 1872 (היסטורית, הדוגמה של ויירשטראס קדמה להוכחת משפט הקטגוריה).

הגדרת הפונקציה היא: כאשר ו- שלם אי זוגי כך ש-. גרף עבור פונקציית ויירשטרס הבאה: :

WeierstrassFunction.svg

פונקציית ויירשטרס מורכבת מאינסוף עותקים של הרמוניה בסיסית, העוברת שני שינויי סקלה (במשרעת ובתדירות).

גרף הפונקציה הוא פרקטל, שממד האוסדורף שלו הוא .

קל לראות שהפונקציה רציפה, משום שהטור מתכנס במידה שווה. ההוכחה שהפונקציה אינה גזירה באף נקודה מורכבת יותר.

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה