פונקציית זטא

מחלקה של פונקציות מרוכבות המשמשות לחקר כמותי של אובייקטים שונים במתמטיקה

בתורת המספרים ובתחומים אחרים במתמטיקה, פונקציית זטא הוא שם כללי לכמה פונקציות מרוכבות הלוקחות את השראתם מהדוגמה הראשונה והחשובה ביותר לפונקציה כזו - פונקציית זטא של רימן. המושג אינו מוגדר באופן מדויק ומשמעותו תלויה בהקשר. מאידך, ישנן פונקציות זטא רבות שאינן מקיימות תכונות אלו כלל.

הגדרה

עריכה

ברמה הכללית ביותר פונקציית זטא יכולה להיות כל טור דיריכלה מוכלל עם ממקדמים חיוביים. זאת אומרת פונקציה מרוכבת שיש לה פיתוח לטור מהצורה הבאה:   כאשר   ו -   הם סדרות של מספרים ממשיים חיוביים. המקדמים   (והמספרים  ) מקודדים בדרך כלל מידע כמותי על אובייקט מתמטי כלשהו, ופונקציית זטא מאפשרת לחקור אובייקט זה בעמצאות כלים של אנליזה מרוכבת.

במקרים רבים[1] נהוג לדרוש מפונקציית זטא תכונות נוספות, בדרך כלל את ארבעת התכונות שדורשים מפונקציית L: פיתוח לטור דיריכלה (זאת אומרת שהספרים   צריכים להיות שלמים), פיתוח למכפלת אוילר, המשכה מרומופית לכל המישור, ומשוואה פונקציונלית.

ניתן להתייחס לפונקציות L כאל גרסאות מעוותות (twisted) של פונקציות זטא, בהם המקדמים   אינם חיוביים (או ממשיים).

החיוביות של המקדמים   מקלה על המחקר של פונקציות זטא (לאמות פונקצית L אחרות) למשל בזכות הלמה של לנדאו

דוגמאות

עריכה

לקריאה נוספת

עריכה
  • Mathematical Society of Japan's Encyclopedic Dictionary of Mathematics (pp 1372-1392), MIT Press, 1977.

קישורים חיצוניים

עריכה

הערות שוליים

עריכה
  1. ^ למשל כאן