פונקציית ליוביל

במתמטיקה, פונקציית ליוביל, על שם ז'וזף ליוביל, היא פונקציה אריתמטית חשובה בתורת המספרים, אשר לכל n טבעי היא מוגדרת על ידי:

$\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}$

כאשר $\Omega (n)$ הוא מספר המספרים הראשוניים אשר מחלקים את $n$. ניתן לראות כי $\Omega (ab)=\Omega (a)+\Omega (b)$, אז $\lambda (ab)=\lambda (a)\lambda (b)$. למספר 1 אין גורמים ראשוניים, אז $\Omega (1)=0$ ומכאן $\lambda (1)=1$. ניתן לראות כי:

$\sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is a perfect square,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

ניתן לראות כי פונקציית ליוביל והערך המוחלט של פונקציית מביוס הם הופכי דיריכלה.

פונקציית ליוביל מופיע גם בטורים של פונקציות אחרות, לדוגמה

• ${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}$.
• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right)$.

כאשר $\vartheta _{3}(q)$ היא פונקציית תטא של יעקובי .

לאורך השניים הוצגו שתי השערות בנוגע לפונקציית ליוביל, אך שתיהן הוכחו כשגויות. הטענה הראשונה הייתה שאם נגדיר את הפונקציה $L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)$, אז $L(n)\leq 0$ לכל $n>1$. השערה זו ידועה בתור השערת פוליה והוצא על ידי ג'ורג' פוליה בשנת 1919, אך הוכחה כשגויה בשנת 1980, למשל עבור $n=906150257$. הטענה השנייה הייתה שאם נגדיר את הפונקציה $T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}$ אז $T(n)\geq 0$. השערה זו הוכחה כלא נכונה בשנת 1958, ולמעשה לפונקציה יש נקודות שליליות רבות. אם השערה זו הייתה נכונה, אז זה היה מוביל להוכחת השערת רימן, כפי שהראה פאל טוראן.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית ליוביל בוויקישיתוף

• פונקציית ליוביל, באתר MathWorld (באנגלית)