במתמטיקה, פונקציית ליוביל, על שם ז'וזף ליוביל, היא פונקציה אריתמטית חשובה בתורת המספרים, אשר לכל n טבעי היא מוגדרת על ידי:

כאשר
הוא מספר המספרים הראשוניים אשר מחלקים את
. ניתן לראות כי
, אז
. למספר 1 אין גורמים ראשוניים, אז
ומכאן
. ניתן לראות כי:

ניתן לראות כי פונקציית ליוביל והערך המוחלט של פונקציית מביוס הם הופכי דיריכלה.
פונקציית ליוביל מופיע גם בטורים של פונקציות אחרות, לדוגמה
.
.
כאשר
היא פונקציית תטא של יעקובי (אנ').
לאורך השניים הוצגו שתי השערות בנוגע לפונקציית ליוביל, אך שתיהן הוכחו כשגויות. הטענה הראשונה הייתה שאם נגדיר את הפונקציה
, אז
לכל
. השערה זו ידועה בתור השערת פוליה והוצא על ידי ג'ורג' פוליה בשנת 1919, אך הוכחה כשגויה בשנת 1980, למשל עבור
. הטענה השנייה הייתה שאם נגדיר את הפונקציה
אז
. השערה זו הוכחה כלא נכונה בשנת 1958, ולמעשה לפונקציה יש נקודות שליליות רבות. אם השערה זו הייתה נכונה, אז זה היה מוביל להוכחת השערת רימן, כפי שהראה פאל טוראן.