בערך זהסימון מתמטי .
במתמטיקה , פונקציית W של למברט (נקראת גם: פונקציית אומגה ), היא פונקציה רב-ערכית , השווה לאוסף הענפים של הפונקציה ההופכית של הפונקציה
f
(
w
)
=
w
e
w
{\displaystyle f(w)=we^{w}}
w
{\displaystyle w}
מספר מרוכב כלשהו ו-
e
w
{\displaystyle e^{w}}
פונקציית האקספוננט .
גרף הפונקציה
y
=
W
(
x
)
{\displaystyle y=W(x)}
x
<
6
{\displaystyle x<6}
y
>
−
4
{\displaystyle y>-4}
y
≥
−
1
{\displaystyle y\geq -1}
W
0
{\displaystyle W_{0}}
y
≤
−
1
{\displaystyle y\leq -1}
W
−
1
{\displaystyle W_{-1}}
x
{\displaystyle x}
(
−
1
e
,
−
1
)
{\displaystyle (-{\frac {1}{e}},-1)}
לכל מספר שלם
k
{\displaystyle k}
W
k
(
z
)
{\displaystyle W_{k}({\text{z}})}
W
0
{\displaystyle W_{0}}
ענף הראשי (אנ' ) . לפונקציות אלו מתקיימת התכונה הבאה: אם
z
{\displaystyle {\text{z}}}
w
{\displaystyle w}
w
e
w
=
z
{\displaystyle we^{w}=z}
אם ורק אם :
w
=
W
k
(
z
)
{\displaystyle w=W_{k}({\text{z}})}
k
{\displaystyle k}
אם מתעסקים רק בעולם המספרים הממשיים , אז קיימים שני הענפים
W
0
{\displaystyle W_{0}}
W
−
1
{\displaystyle W_{-1}}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
y
e
y
=
x
{\displaystyle ye^{y}=x}
למשוואה זו יש פתרון רק עבור
x
≥
−
1
e
{\displaystyle x\geq -{\frac {1}{e}}}
y
=
W
0
(
x
)
{\displaystyle y=W_{0}(x)}
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
y
=
W
0
(
x
)
{\displaystyle y=W_{0}(x)}
y
=
W
−
1
(
x
)
{\displaystyle y=W_{-1}(x)}
−
1
e
≤
x
<
0
{\displaystyle -{\frac {1}{e}}\leq x<0}
הפונקציה שימושית בקומבינטוריקה , לדוגמה, בספירת עצים . ניתן להשתמש בה בכדי לפתור משוואות המכילות אקספוננט (למשל המקסימום של משוואת פלאנק , משוואת התפלגות בוז-איינשטיין ומשוואת התפלגות פרמי-דיראק ).
אומנם את פונקציית W של למברט לא ניתן לבטא באמצעות פונקציות אלמנטריות [ 1] ענף הראשי (אנ' ) שלה בדרכים אחרות.
עריכה
בתחום
|
x
|
<
1
e
{\displaystyle |x|<{\frac {1}{e}}}
[ 2]
−
π
2
W
0
(
−
x
)
=
∫
0
π
sin
(
3
2
t
)
−
x
e
cos
t
sin
(
5
2
t
−
sin
t
)
1
−
2
x
e
cos
t
cos
(
t
−
sin
t
)
+
x
2
e
2
cos
t
sin
(
1
2
t
)
d
t
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}W_{0}(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt}
ועבור התחום הרחב יותר
−
1
e
≤
x
≤
e
{\displaystyle -{\frac {1}{e}}\leq x\leq e}
[ 3]
W
0
(
x
)
=
1
π
Re
∫
0
π
ln
(
e
e
i
t
−
x
e
−
i
t
e
e
i
t
−
x
e
i
t
)
d
t
{\displaystyle W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\ln \left({\frac {e^{e^{it}}-xe^{-it}}{e^{e^{it}}-xe^{it}}}\right)\,dt}
קיים ייצוג נוסף לענף הראשי:[ 4] [ 5]
W
0
(
x
)
=
1
π
∫
0
π
log
(
1
+
x
sin
t
t
e
t
cot
t
)
d
t
{\displaystyle W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+x{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt}
עבור התחום
x
≥
−
1
e
{\displaystyle x\geq -{\frac {1}{e}}}
[ 6]
W
0
(
x
)
=
x
2
π
∫
−
π
π
(
1
−
v
cot
v
)
2
+
v
2
x
+
v
csc
v
e
−
v
cot
v
d
v
=
x
π
∫
0
π
(
1
−
v
cot
v
)
2
+
v
2
x
+
v
csc
v
e
−
v
cot
v
d
v
{\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(x)&={\frac {x}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {(1-v\cot v)^{2}+v^{2}}{x+v\csc ve^{-v\cot v}}}dv\\\ &={\frac {x}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {(1-v\cot v)^{2}+v^{2}}{x+v\csc ve^{-v\cot v}}}dv\end{aligned}}}
(שני האינטגרלים שווים כיוון שהפונקציה בתוך האינטגרל סימטרית ).
עריכה
ניתן גם להציג את הענף הראשי באמצעות השבר המשולב הבא:[ 7]
W
0
(
x
)
=
x
1
+
x
1
+
x
2
+
5
x
3
+
17
x
10
+
133
x
17
+
1927
x
190
+
13582711
x
94423
+
⋱
{\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}
ועבור התחום
|
W
0
(
x
)
|
<
1
{\displaystyle |W_{0}(x)|<1}
[ 8]
W
0
(
x
)
=
x
exp
x
exp
x
⋱
{\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}}
ובאופן דומה, עבור התחום
|
W
0
(
x
)
|
>
e
{\displaystyle |W_{0}(x)|>e}
W
0
(
x
)
=
ln
x
ln
x
ln
x
⋱
{\displaystyle W_{0}(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}}
לפי השיטה למציאת נגזרת של פונקציה סתומה , ניתן להראות כי לכל הענפים של
W
{\displaystyle W}
משוואה דיפרנציאלית רגילה :
z
(
1
+
W
)
d
W
d
z
=
W
(
z
≠
−
1
e
)
{\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\ \ \ (z\neq {\frac {-1}{e}})}
(
W
{\displaystyle W}
גזירה עבור
z
=
−
1
e
{\displaystyle z=-{\frac {1}{e}}}
W
{\displaystyle W}
d
W
d
z
=
W
(
z
)
z
(
1
+
W
(
z
)
)
z
∉
{
0
,
−
1
e
}
{\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\ \ \ z\notin \{0,-{\frac {1}{e}}\}}
ובאמצעות שימוש בזהות
e
W
(
z
)
=
z
W
(
z
)
{\displaystyle e^{W(z)}={\frac {z}{W(z)}}}
d
W
d
z
=
1
z
+
e
W
(
z
)
(
z
≠
−
1
e
)
{\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\ \ \ (z\neq -{\frac {1}{e}})}
בענף הראשי נקבל
W
0
′
(
0
)
=
1
{\displaystyle W_{0}'(0)=1}
ניתן למצוא את האינטגרל של הפונקציה
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
אינטגרציה באמצעות החלפת משתנים :
w
=
W
(
x
)
(
x
=
w
e
w
)
{\displaystyle w=W(x)\ \ \ (x=we^{w})}
∫
W
(
x
)
d
x
=
x
W
(
x
)
−
x
+
e
W
(
x
)
+
C
=
x
(
W
(
x
)
−
1
+
1
W
(
x
)
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\\ &=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C\end{aligned}}}
המשוואה השנייה היא בשימוש הנפוץ יותר, אך אינה מוגדרת עבור
x
=
0
{\displaystyle x=0}
אם נשתמש בעובדה כי
W
0
(
e
)
=
1
{\displaystyle W_{0}(e)=1}
∫
0
e
W
0
(
x
)
d
x
=
e
−
1
{\displaystyle \int _{0}^{e}W_{0}(x)dx=e-1}
קיימים כמה אינטגרלים מסוימים שימושיים של הענף הראשי של פונקציית W. כגון:
∫
0
π
W
0
(
2
cot
2
x
)
sec
2
x
d
x
=
4
π
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }W_{0}(2\cot ^{2}x)\sec ^{2}xdx=4{\sqrt {\pi }}}
∫
0
∞
W
0
(
x
)
x
x
d
x
=
2
2
π
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}dx=2{\sqrt {2\pi }}}
∫
0
∞
W
0
(
1
x
2
)
d
x
=
2
π
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)dx=2{\sqrt {\pi }}}
את המשוואה הראשונה ניתן למצוא באמצעות כתיבת אינטגרל גאוסיאני בקואורדינטות קוטביות .
את המשוואה השנייה ניתן למצוא על ידי שימוש בהחלפה
u
=
W
0
(
x
)
{\displaystyle u=W_{0}(x)}
x
=
u
e
u
{\displaystyle x=ue^{u}}
d
x
d
u
=
(
u
+
1
)
e
u
{\displaystyle {\frac {dx}{du}}=(u+1)e^{u}}
ואז ניתן להראות כי:
∫
0
∞
W
0
(
x
)
x
x
d
x
=
∫
0
∞
u
u
e
u
u
e
u
(
u
+
1
)
e
u
d
u
=
∫
0
∞
u
+
1
u
e
u
d
u
=
∫
0
∞
u
+
1
u
1
e
u
d
u
=
∫
0
∞
u
1
2
e
−
u
2
d
u
+
∫
0
∞
u
−
1
2
e
−
u
2
d
u
=
2
∫
0
∞
(
2
w
)
1
2
e
−
w
d
w
+
2
∫
0
∞
(
2
w
)
−
1
2
e
−
w
d
w
(
u
=
2
w
)
=
2
2
∫
0
∞
w
1
2
e
−
w
d
w
+
2
∫
0
∞
w
−
1
2
e
−
w
d
w
=
2
2
⋅
Γ
(
3
2
)
+
2
⋅
Γ
(
1
2
)
=
2
2
(
1
2
π
)
+
2
(
π
)
=
2
2
π
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}
המשוואה השלישית נובעת מהמשוואה השנייה על ידי ההחלפה
u
=
x
−
2
{\displaystyle u=x^{-2}}
z
=
1
2
tan
x
{\displaystyle z={\frac {1}{\sqrt {2}}}\tan x}
עריכה
∫
W
(
x
)
x
d
x
=
W
(
x
)
2
2
+
W
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}dx={\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}
הוכחה ראשונה
אם נציב את המשתנה
u
=
W
(
x
)
→
x
=
u
e
u
d
d
u
u
e
u
=
(
u
+
1
)
e
u
{\displaystyle u=W(x)\rightarrow x=ue^{u}\ \ \ {\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u}}
∫
W
(
x
)
x
d
x
=
∫
u
u
e
u
(
u
+
1
)
e
u
d
u
=
∫
u
u
e
u
(
u
+
1
)
e
u
d
u
=
∫
(
u
+
1
)
d
u
=
u
2
2
+
u
+
C
u
=
W
(
x
)
=
W
(
x
)
2
2
+
W
(
x
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x}}dx&=\int {\frac {u}{ue^{u}}}(u+1)e^{u}du\\\ &=\int {\frac {\cancel {\color {green}u}}{{\cancel {\color {green}u}}{\cancel {\color {red}e^{u}}}}}(u+1){\cancel {\color {red}e^{u}}}du\\\ &=\int (u+1)du\\\ &={\frac {u^{2}}{2}}+u+C\\\ &\qquad u=W(x)\\\ &={\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C\end{aligned}}}
הוכחה שנייה
W
(
x
)
e
W
(
x
)
=
x
→
W
(
x
)
x
=
e
−
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)e^{W(x)}=x\rightarrow {\frac {W(x)}{x}}=e^{-W(x)}}
∫
W
(
x
)
x
d
x
=
∫
e
−
W
(
x
)
d
x
u
=
W
(
x
)
→
x
=
u
e
u
d
d
u
u
e
u
=
(
u
+
1
)
e
u
=
∫
e
−
u
(
u
+
1
)
e
u
d
u
=
∫
e
−
u
(
u
+
1
)
e
u
d
u
=
∫
(
u
+
1
)
d
u
=
u
2
2
u
+
C
=
W
(
x
)
2
2
+
W
(
x
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x}}dx&=\int e^{-W(x)}dx\\\ &\qquad u=W(x)\rightarrow x=ue^{u}\\\ &\qquad {\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u}\\\ &=\int e^{-u}(u+1)e^{u}du\\\ &=\int {\cancel {\color {green}e^{-u}}}(u+1){\cancel {\color {green}e^{u}}}du\\\ &=\int (u+1)du\\\ &={\frac {u^{2}}{2}}u+C\\\ &={\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C\end{aligned}}}
∫
W
(
A
e
B
x
)
d
x
=
W
(
A
e
B
x
)
2
2
B
+
W
(
A
e
B
x
)
B
+
C
{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}
הוכחה
∫
W
(
A
e
B
x
)
d
x
=
∫
W
(
A
e
B
x
)
d
x
{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx}
u
=
B
x
→
u
B
=
x
d
d
u
u
B
=
1
B
{\displaystyle u=Bx\rightarrow {\frac {u}{B}}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}{\frac {u}{B}}={\frac {1}{B}}}
∫
W
(
A
e
B
x
)
d
x
=
∫
W
(
A
e
u
)
1
B
d
u
{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{u}\right){\frac {1}{B}}du}
v
=
e
u
→
ln
(
v
)
=
u
d
d
v
ln
(
v
)
=
1
v
{\displaystyle v=e^{u}\rightarrow \ln \left(v\right)=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}\ln \left(v\right)={\frac {1}{v}}}
∫
W
(
A
e
B
x
)
d
x
=
1
B
∫
W
(
A
v
)
v
d
v
{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {W\left(Av\right)}{v}}dv}
w
=
A
v
→
w
A
=
v
d
d
w
w
A
=
1
A
{\displaystyle w=Av\rightarrow {\frac {w}{A}}=v\;\;\;\;{\frac {d}{dw}}{\frac {w}{A}}={\frac {1}{A}}}
∫
W
(
A
e
B
x
)
d
x
=
1
B
∫
A
W
(
w
)
w
1
A
d
w
{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {{\cancel {\color {OliveGreen}{A}}}W(w)}{w}}{\cancel {\color {OliveGreen}{\frac {1}{A}}}}dw}
t
=
W
(
w
)
→
t
e
t
=
w
d
d
t
t
e
t
=
(
t
+
1
)
e
t
{\displaystyle t=W\left(w\right)\rightarrow te^{t}=w\;\;\;\;{\frac {d}{dt}}te^{t}=\left(t+1\right)e^{t}}
∫
W
(
A
e
B
x
)
d
x
=
1
B
∫
t
t
e
t
(
t
+
1
)
e
t
d
t
{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {t}{te^{t}}}\left(t+1\right)e^{t}dt}
∫
W
(
A
e
B
x
)
d
x
=
1
B
∫
t
t
e
t
(
t
+
1
)
e
t
d
t
{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}}}\left(t+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}dt}
∫
W
(
A
e
B
x
)
d
x
=
1
B
∫
t
+
1
d
t
{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int t+1dt}
∫
W
(
A
e
B
x
)
d
x
=
t
2
2
B
+
t
B
+
C
{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {t^{2}}{2B}}+{\frac {t}{B}}+C}
t
=
W
(
w
)
{\displaystyle t=W\left(w\right)}
∫
W
(
A
e
B
x
)
d
x
=
W
(
w
)
2
2
B
+
W
(
w
)
B
+
C
{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(w\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(w\right)}{B}}+C}
w
=
A
v
{\displaystyle w=Av}
∫
W
(
A
e
B
x
)
d
x
=
W
(
A
v
)
2
2
B
+
W
(
A
v
)
B
+
C
{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Av\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Av\right)}{B}}+C}
v
=
e
u
{\displaystyle v=e^{u}}
∫
W
(
A
e
B
x
)
d
x
=
W
(
A
e
u
)
2
2
B
+
W
(
A
e
u
)
B
+
C
{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{u}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{u}\right)}{B}}+C}
u
=
B
x
{\displaystyle u=Bx}
∫
W
(
A
e
B
x
)
d
x
=
W
(
A
e
B
x
)
2
2
B
+
W
(
A
e
B
x
)
B
+
C
{\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}
∫
W
(
x
)
x
2
d
x
=
Ei
(
−
W
(
x
)
)
−
e
−
W
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C}
הוכחה
אם נציב את המשתנה
u
=
W
(
x
)
→
x
=
u
e
u
d
d
u
u
e
u
=
(
u
+
1
)
e
u
{\displaystyle u=W(x)\rightarrow x=ue^{u}\ \ \ {\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u}}
∫
W
(
x
)
x
2
d
x
=
∫
u
(
u
e
u
)
2
(
u
+
1
)
e
u
d
u
=
∫
u
+
1
u
e
u
d
u
=
∫
u
u
e
u
d
u
+
∫
1
u
e
u
d
u
=
∫
e
−
u
d
u
+
∫
e
−
u
u
d
u
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;\int {\frac {u}{\left(ue^{u}\right)^{2}}}\left(u+1\right)e^{u}du\\&=\;\int {\frac {u+1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int {\frac {u}{ue^{u}}}du\;+\;\int {\frac {1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int e^{-u}du\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du\end{aligned}}}
v
=
−
u
→
−
v
=
u
d
d
v
−
v
=
−
1
{\displaystyle v=-u\rightarrow -v=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}-v=-1}
∫
W
(
x
)
x
2
d
x
=
∫
e
v
(
−
1
)
d
v
+
∫
e
−
u
u
d
u
{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\int e^{v}\left(-1\right)dv\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du}
∫
W
(
x
)
x
2
d
x
=
−
e
v
+
Ei
(
−
u
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{v}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C}
v
=
−
u
{\displaystyle v=-u}
∫
W
(
x
)
x
2
d
x
=
−
e
−
u
+
Ei
(
−
u
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{-u}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C}
u
=
W
(
x
)
{\displaystyle u=W(x)}
∫
W
(
x
)
x
2
d
x
=
−
e
−
W
(
x
)
+
Ei
(
−
W
(
x
)
)
+
C
=
Ei
(
−
W
(
x
)
)
−
e
−
W
(
x
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;-e^{-W(x)}+\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)+C\\&=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C\end{aligned}}}
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f836d0b33ed568739bf7e32a1ded6e95b08c4429)
