פונקציית W של למברט

פונקציה רב ערכית שהיא ההופכית לפונקציה x exp(x)

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציית W של למברט (נקראת גם: פונקציית אומגה), היא פונקציה רב-ערכית, השווה לאוסף הענפים של הפונקציה ההופכית של הפונקציה , כש- הוא מספר מרוכב כלשהו ו- היא פונקציית האקספוננט.

גרף הפונקציה עבור ו . ההסתעפות העליונה (בכחול) עם ערכי היא גרף הפונקציה (ההסתעפות הראשית), וההסתעפות התחתונה (בסגול) עם ערכי היא גרף הפונקציה . הערך המינימלי של הוא ב-

לכל מספר שלם משויך ענף אחד, המסומן בצורה . מוגדר כענף הראשי (אנ'). לפונקציות אלו מתקיימת התכונה הבאה: אם ו- הם מספרים מרוכבים כלשהם, אזי:

מתקיים אם ורק אם:

עבור שלם כלשהו.

אם מתעסקים רק בעולם המספרים הממשיים, אז קיימים שני הענפים ו- בלבד; עבור המספרים הממשיים ו- והמשוואה:

למשוואה זו יש פתרון רק עבור ; אנו מקבלים כי אם , ואת שני הערכים וגם אם (כפי שניתן לראות בתמונה).

הפונקציה שימושית בקומבינטוריקה, לדוגמה, בספירת עצים. ניתן להשתמש בה בכדי לפתור משוואות המכילות אקספוננט (למשל המקסימום של משוואת פלאנק, משוואת התפלגות בוז-איינשטיין ומשוואת התפלגות פרמי-דיראק).

טרמינולוגיה עריכה

פונקציית W של למברט קרויה על שם המתמטיקאי יוהאן היינריך למברט.

לעיתים הענף הראשי   מסומן כ-  והענף   מסומן כ- .

לעיתים הפונקציה נקראת גם "לוגריתם המכפלה" (באנגלית product logarithm) כיוון שאם הפונקציה ההופכית של   נקראת לוגריתם, אז הגיוני לקרוא לפונקציה ההופכית של המכפלה   בשם "לוגריתם המכפלה"

הפונקציה קשורה לקבוע אומגה, ששווה ל- .

ייצוגים עריכה

אומנם את פונקציית W של למברט לא ניתן לבטא באמצעות פונקציות אלמנטריות[1]., אך ניתן לייצג אותה ובעיקר את הענף הראשי (אנ') שלה בדרכים אחרות.

באמצעות אינטגרלים מסוימים עריכה

בתחום  , ניתן לייצג באמצעות האינטגרל הבא:[2]

 

ועבור התחום הרחב יותר  , ניתן לפשט עוד יותר את הביטוי:[3]

 

קיים ייצוג נוסף לענף הראשי:[4][5]

 

עבור התחום   בו הענף הראשי מוגדר, מתקיים:[6]

 

(שני האינטגרלים שווים כיוון שהפונקציה בתוך האינטגרל סימטרית).

באמצעות שברים משולבים עריכה

ניתן גם להציג את הענף הראשי באמצעות השבר המשולב הבא:[7]

 

ועבור התחום  :[8]

 

ובאופן דומה, עבור התחום  :

 

ד"א (דיפרנציאביליות ואינטגרביליות) עריכה

נגזרת עריכה

לפי השיטה למציאת נגזרת של פונקציה סתומה, ניתן להראות כי לכל הענפים של   יש משוואה דיפרנציאלית רגילה:

 

(  אינה גזירה עבור  ) כתוצאה מכך, אנו מקבלים את הנוסחה הבאה עבור הנגזרת של  :

 

ובאמצעות שימוש בזהות   נקבל את הנוסחה הבאה:

 

בענף הראשי נקבל  .

אינטגרל עריכה

ניתן למצוא את האינטגרל של הפונקציה  , ושל פונקציות רבות נוספות המכילות בתוכן את פונקציית W, על ידי שימוש באינטגרציה באמצעות החלפת משתנים:  

 

המשוואה השנייה היא בשימוש הנפוץ יותר, אך אינה מוגדרת עבור  .

אם נשתמש בעובדה כי   נקבל:

 

אינטגרלים מסוימים עריכה

קיימים כמה אינטגרלים מסוימים שימושיים של הענף הראשי של פונקציית W. כגון:

 
 
 

את המשוואה הראשונה ניתן למצוא באמצעות כתיבת אינטגרל גאוסיאני בקואורדינטות קוטביות.

את המשוואה השנייה ניתן למצוא על ידי שימוש בהחלפה  , ואז ניתן גם להחליף את:

 
 

ואז ניתן להראות כי:

 

המשוואה השלישית נובעת מהמשוואה השנייה על ידי ההחלפה  , ובנוסף גם המשוואה הראשונה נובעת מהשלישית על ידי ההחלפה  .

אינטגרלים לא מסוימים עריכה

 

הוכחה ראשונה

אם נציב את המשתנה   נקבל:

 

הוכחה שנייה

 

 

 

הוכחה

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

הוכחה

אם נציב את המשתנה   נקבל:

 

 

 

 

 

 

 

 

ערכים מיוחדים עריכה

עבור כל   מספר אלגברי השונה מ-0, מתקיים כי   הוא מספר טרנסצנדנטי. אם   הוא 0, אז   חייב להיות גם הוא 0, ואם   הוא מספר לא אלגברי שונה מאפס, אז לפי משפט לינדמן-ויירשטראס,   חייב להיות מספר טרנסצנדנטי, ולכן   חייב להיות גם הוא מספר טרנסצנדנטי.

למטה מובאים ערכים מיוחדים של הענף הראשי ( ):

  •  
  •  
  •  
  •  
  •   (קבוע אומגה)
  •  
  •  
  •  

קישורים חיצוניים עריכה

הערות שוליים עריכה

  1. ^ Timothy Y. Chow, What Is a Closed-Form Number?, The American Mathematical Monthly, ‏1999
  2. ^ Finch, S. R., Mathematical constants, 2003, עמ' 450
  3. ^ Mező, István, An integral representation for the principal branch of the Lambert W function
  4. ^ Mező, István, An integral representation for the Lambert W function, ‏2020
  5. ^ Kalugin, German A.; Jeffrey, David J.; Corless, Robert M., Stieltjes, Poisson and other integral representations for functions of Lambert W, ‏2011
  6. ^ The Lambert W Function, Ontario Research Centre for Computer Algebra
  7. ^ Dubinov, A. E.; Dubinova, I. D.; Saǐkov, S. K., The Lambert W Function and Its Applications to Mathematical Problems of Physics, 2006, עמ' 53. (ברוסית)
  8. ^ Robert M., Corless; David J., Jeffrey; Donald E., Knuth, A sequence of series for the Lambert W function (עמ' 197-204), ‏יולי 1997