עלינו להשוות בין שטחיהם של עיגול, ריבוע ומשולש שווה-צלעות, שבהם האלכסון של הריבוע שווה לקוטר העיגול ולצלע של המשולש. כיוון שקוטר העיגול שווה לאורך האלכסון של הריבוע, הרי המעגל הוא מעגל חוסם לריבוע, ולכן ברור ששטח העיגול גדול מזה של הריבוע.
ריבוע חסום במעגל - האלכסון שווה לקוטר
להשוואה בין שטח העיגול לשטח המשולש ננעץ מחוגה במרכז אחת מצלעות המשולש, ונקצה חצי עיגול העובר דרך שני הקודקודים של צלע זו, וחותך את שתי הצלעות האחרות. נחבר את שלוש הנקודות, ונגלה שחילקנו את המשולש לארבעה משולשים חופפים (ודומים למשולש המקורי), ששלושה מהם נמצאים בתוך חצי העיגול. שטח חצי העיגול גדול, אם כן, משלושה רבעים של המשולש, לכן שטח העיגול גדול יותר מאשר 1.5 פעמים שטח המשולש.
חצי עיגול מכסה יותר משלושה רבעים של המשולש
מצאנו, אם כן, שהעיגול הוא בעל השטח הגדול ביותר.
כעת נותר להשוות בין שטח הריבוע לשטח המשולש, כדי לקבוע מי מביניהם קטן יותר. אם אורך צלע הריבוע הוא הרי שטחו הוא . בעזרת משפט פיתגורס נמצא ששטח המשולש הוא , כלומר שטח המשולש קטן משטח הריבוע.
מצאנו, אם כן, שהמשולש הוא בעל השטח הקטן ביותר.
חידת המשך:
כיצד יושפע הסדר אם נניח שקוטר העיגול שווה לאורך צלע הריבוע (וצלע המשולש ממשיכה להיות שווה לאלכסון הריבוע)?
פתרון
השינוי גורם לכך שכעת המעגל הוא מעגל חסום, כלומר שטח הריבוע גדול משטח המעגל. ביחס בין שטח הריבוע לשטח המשולש לא חל שינוי: שטח הריבוע גדול משטח המשולש.
מצאנו, אם כן, שהריבוע הוא בעל השטח הגדול ביותר.
כעת נותר להשוות בין שטח העיגול לשטח המשולש, כדי לקבוע מי מביניהם קטן יותר. כבר חישבנו שאם אורך צלע הריבוע הוא הרי שטח המשולש הוא . את שטח העיגול קל לחשב, והוא . חישוב ערכי שני המקדמים של יגלה ששטח המשולש גדול במעט משטח הריבוע.
